[論文レビュー] The Integrals of Motion for the Deformed Virasoro Algebra

Boris Feigin, Takeo Kojima+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 5被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、楕円的量子群の設定において普遍R行列が存在しないことから、標準的なYang-Baxter構成を避けるために、Feigin-Odesskii代数に基づく新規なアプローチを用いて、変形Virasoro代数に対して無限個の可換な作用素—局所的および非局所的保存量—を構成する。主な貢献は、これらの保存量の明示的積分表現が、量子群の対称性ではなく代数的構造に基づいて可換性が証明されることにある。

ABSTRACT

We explicitly construct two classes of infinitly many commutative operators in terms of the deformed Virasoro algebra. We call one of them local integrals and the other nonlocal one, since they can be regarded as elliptic deformations of the local and nonlocal integrals of motion obtained by V.Bazhanov, S.Lukyanov and Al.Zamolodchikov.

研究の動機と目的

• 変形Virasoro代数に対して、局所的および非局所的保存量—無限個の可換作用素—を構成すること。
• Bazhanov, Lukyanov, および Zamolodchikov がVirasoro代数に対して以前に構成した保存量の楕円的変形を提供すること。
• 楕円的量子群のBorel部分代数のテンソル積において普遍R行列が存在しないという障害を克服すること。
• Yang-Baxter関係式ではなく、Feigin-Odesskii代数の構造を通じて保存量の可換性を確立すること。
• 変形構成の特別な場合として、既知の古典的および conformal field theory の極限を回復すること。

提案手法

• 局所的保存量 $\mathcal{I}_n$ および非局所的保存量 $\mathcal{G}_n$ を、スクリーニングカレントおよび変形Virasoro代数の基本的演算子を用いた積分表現によって明示的に定義する。
• $U_q(\widehat{sl_2})$ のBorel部分代数 $\mathcal{B}_\pm$ の自由場実現を用いて、モノドロミー行列や転送行列に依存せずに作用素を構成する。
• Feigin-Odesskii代数の可換部分代数の構造を通じて、可換性 $[\mathcal{I}_m, \mathcal{I}_n] = 0$ および $[\mathcal{G}_m, \mathcal{G}_n] = 0$ を確立する。
• 代数的対称性の性質を用いて、Dynkin自己同型 $\eta(\mathcal{I}_n) = \mathcal{I}_n$ および $\eta(\mathcal{G}_n) = \mathcal{G}_n$ を証明する。
• 無限大の $q$-Pochhammer記号およびシータ関数を用いて、演算子積の明示的正規順序公式を導出する。
• 退化極限の検証：古典的ポisson-Virasoro代数および conformal field theory の極限が、特別な場合として回復されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Borel部分代数のテンソル積において普遍R行列が存在しない状況下で、変形Virasoro代数に対して無限個の可換保存量をどのように構成できるか。
• RQ2 量子アフィン対称性 $U_q(\widehat{sl_2})$ を通じて以前にVirasoro代数に対して構成された局所的および非局所的保存量の楕円的変形とは何か。
• RQ3 構成された保存量は、変形Virasoro代数の古典的および conformal field theory の極限とどのように関係しているか。
• RQ4 Yang-Baxter関係式や転送行列形式に依存せずに、保存量の可換性を確立できるか。
• RQ5 保存量の可換性を規定する代数的構造は何か。これは既知の量子群に基づく構成をどのように一般化するか。

主な発見

• 本稿は、変形Virasoro代数において、局所的保存量 $\mathcal{I}_n$ および非局所的保存量 $\mathcal{G}_n$ の無限族を積分表現によって明示的に構成する。
• 可換性 $[\mathcal{I}_m, \mathcal{I}_n] = 0$ および $[\mathcal{G}_m, \mathcal{G}_n] = 0$ は、Yang-Baxter関係式ではなく、Feigin-Odesskii代数の可換部分代数の構造によって確立される。
• 保存量 $\mathcal{I}_n$ および $\mathcal{G}_n$ は、Dynkin自己同型 $\eta$ に関して不変であり、変形Virasoro代数の代数的構造による対称性を保証する。
• 本構成は、Bazhanov, Lukyanov, および Zamolodchikov が以前に構成した保存量の楕円的変形を成功裏に提供し、彼らの仕事の有理的量子群設定を超えて拡張する。
• 古典的極限において、変形Virasoro代数はポisson-Virasoro代数に退化し、保存量はこの場合にFrenkelによって構成されたものと一致する。
• conformal field theory 極限において、保存量は既知のVirasoro代数の局所的および非局所的保存量を再現し、従来の結果と一貫していることが確認される。