[論文レビュー] The integrated density of states and its absolute continuity for magnetic Schr\"odinger operators with unbounded random potentials

Thomas Hupfer, Hajo Leschke+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2000

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、多変数のユークリッド空間における一様磁場下で、非有界なエルゴード的確率的ポテンシャルを有する磁気シュレーディンガー作用素に対して、統合状態密度（IDS）の存在およびほとんど確実に非確率的であることを確立する。IDSの絶対連続性はウェグナー推定を用いて証明され、その微分の明示的な上界が導出される。また、ノイマン型境界条件の下でダイマグネティック不等式が確立される。

ABSTRACT

The object of the present study is the integrated density of states of a quantum particle in multi-dimensional Euclidean space which is characterized by a Schrödinger operator with magnetic field and unbounded random potential. In case of a constant magnetic field and an ergodic random potential, we prove the existence of the integrated density of states as the infinite-volume limit of suitable spatial eigenvalue concentrations of finite-volume operators as well as its independence of the chosen boundary conditions and its almost-sure nonrandomness. Moreover, the integrated density of states is expressed in terms of the spatially localized spectral family of the infinite-volume Schrödinger operator. Finally, a Wegner estimate is derived for rather general magnetic fields and certain random potentials admitting a so-called one-parameter decomposition. The estimate implies the absolute continuity of the integrated density of states and provides explicit upper bounds on its derivative, the density of states. Besides we show a diamagnetic inequality for Schrödinger operators with Neumann boundary conditions.

研究の動機と目的

• 非有界な確率的ポテンシャルを有する磁気シュレーディンガー作用素に対して、統合状態密度（IDS）が無限体積極限として存在することを確立すること。
• エルゴード性の仮定の下で、IDSが境界条件の選択に依存せず、ほとんど確実に非確率的であることを示すこと。
• 無限体積作用素の局在化されたスペクトル族を用いてIDSを表現すること。
• 一パrameter分解を許容する一般の磁場および確率的ポテンシャルに対して、一般のウェグナー推定を導出すること。
• IDSの絶対連続性を証明し、その微分の明示的な上界を提供すること。

提案手法

• 有限体積作用素の空間的固有値濃度の無限体積極限を用いてIDSを定義する。
• スペクトル理論および無限体積シュレーディンガー作用素の空間的に局在化されたスペクトル族を用いてIDSを特徴付ける。
• 確率的ポテンシャルの一パrameter分解を用いて、一般のウェグナー推定を導出する。
• ノイマン境界条件の下でシュレーディンガー作用素に対してダイマグネティック不等式を確立する。
• エルゴード性およびスペクトル平均化技術を用いて、IDSのほとんど確実な非確率性を証明する。
• 関数解析的手法を用いて、多変数における非有界な確率的ポテンシャルおよび磁場を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界な確率的ポテンシャルを有する磁気シュレーディンガー作用素に対して、統合状態密度（IDS）が無限体積極限として存在するか？
• RQ2 エルゴード性の下で、統合状態密度（IDS）は境界条件に依存せず、ほとんど確実に非確率的か？
• RQ3 一パrameter分解を許容する一般の磁場および確率的ポテンシャルに対して、ウェグナー推定を導出できるか？
• RQ4 ウェグナー推定は、統合状態密度（IDS）の絶対連続性を示唆するか？
• RQ5 IDSと無限体積作用素の局在化されたスペクトル族との関係は何か？

主な発見

• 統合状態密度（IDS）は、有限体積作用素の空間的固有値濃度の無限体積極限として存在する。
• IDSは境界条件の選択に依存せず、エルゴード性の下でほとんど確実に非確率的である。
• IDSは無限体積シュレーディンガー作用素の空間的に局在化されたスペクトル族を用いて表現される。
• 一パrameter分解を許容する一般の磁場および確率的ポテンシャルに対して、ウェグナー推定が導出される。
• ウェグナー推定はIDSの絶対連続性を示し、その微分の明示的な上界を提供する。
• ノイマン境界条件の下で、シュレーディンガー作用素に対してダイマグネティック不等式が証明される。