[論文レビュー] The intermediate disorder regime for a directed polymer model on a hierarchical lattice

Tom Alberts, Jeremy Clark+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、分岐数 $b$ とセグメント数 $s$ を持つ階層的ダイアモンド格子上の指向的ポリマー模型における中間的不規則性領域を研究する。$b < s$ の場合、スケーリング $\beta_n = \hat{\beta}(b/s)^{n/2}$ の下で、正規化された分配関数が非退化限界へ弱収束することを確立する。一方、$b = s$ の場合、分配関数の分散が $\hat{\beta} \leq \kappa_b$ のとき消え、それ以外のとき発散することを特定し、前者の場合に中心極限定理を証明する。

ABSTRACT

We study a directed polymer model defined on a hierarchical diamond lattice, where the lattice is constructed recursively through a recipe depending on a branching number $b\in \mathbb{N}$ and a segment number $s\in \mathbb{N}$. When $b\leq s$ previous work [27] has established that the model exhibits strong disorder for all positive values of the inverse temperature $β$, and thus weak disorder reigns only for $β=0$ (infinite temperature). Our focus is on the so-called intermediate disorder regime in which the inverse temperature $β\equiv β_{n}$ vanishes at an appropriate rate as the size $n$ of the system grows. Our analysis requires separate treatment for the cases $b0$, the normalized partition function of the system converges weakly as $n o \infty$ to a distribution $\mathbf{L}(\widehatβ)$ depending continuously on the parameter $\widehatβ$. In the case $b=s$ we find a critical point in the behavior of the model when the inverse temperature is scaled as $β_{n}=\widehatβ/n$; for an explicitly computable critical value $κ_{b} &gt; 0$ the variance of the normalized partition function converges to zero with large $n$ when $\widehatβ\leq κ_{b}$ and grows without bound when $\widehatβ&gt;κ_{b}$. Finally, we prove a central limit theorem for the normalized partition function when $\widehatβ\leq κ_{b}$.

研究の動機と目的

• 系のサイズ $n$ に応じてスケーリングされる逆温度 $\beta_n$ を持つ指向的ポリマー模型における中間的不規則性領域を分析すること。
• $b < s$ および $b = s$ の場合における $\beta_n$ の異なるスケーリング下での正規化された分配関数の振る舞いを特定すること。
• $b = s$ の場合に、分配関数の分散が消えたり発散したりする境界を分かつ臨界閾値 $\kappa_b$ を同定すること。
• $b = s$ の場合に $\hat{\beta} \leq \kappa_b$ のとき、正規化された分配関数に対して中心極限定理を確立すること。

提案手法

• 分岐数 $b$ とセグメント数 $s$ を持つ階層的ダイアモンド格子を再帰的に構築することで、ポリマーの経路をモデル化する。
• 系のサイズ $n$ とともに減少する逆温度 $\beta_n$ を用いたギブス的再重み付けにより、中間的不規則性領域にアクセスする。
• 正規化された分配関数 $\widetilde{W}_n(\beta_n; D_n)$ 及びその分散を、再帰的写像 $\widetilde{M}_n^m(0)$ および関連関数 $r_m^{(n)}$ を用いて分析する。
• テイラー展開と漸近的解析を用いて、$r_n^{(n)}$ の振る舞いを近似し、主要項 $1 - r_n \sim \frac{b+1}{3(b-1)}\frac{log n}{n}$ を導出する。
• リーマン和近似と誤差項の評価を用いて、分配関数の分散を支配する $\widetilde{M}_n^n(0)$ の漸近的挙動を導出する。
• 逆正 tangent 関数の2次テイラー展開を用いて、$r_m$ の再帰的ダイナミクスと $\beta_n$ のスケーリングを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $b < s$ の場合、中間的不規則性領域における正規化された分配関数はどのように振る舞うか？
• RQ2 $b = s$ の場合、正規化された分配関数の分散が消えたり発散したりする境界を分かつ臨界閾値 $\kappa_b$ は何か？
• RQ3 $b = s$ の場合に $\hat{\beta} \leq \kappa_b$ のとき、正規化された分配関数は中心極限定理を満たすか？
• RQ4 $b = s$ の場合、正規化された分配関数の分散の正確な漸近的スケーリングは何か？

主な発見

• $b < s$ の場合、$\beta_n = \hat{\beta}(b/s)^{n/2}$ かつ $\hat{\beta} > 0$ の下で、正規化された分配関数は非退化限界 $\mathbf{L}(\hat{\beta})$ へ弱収束する。
• $b = s$ の場合、$\hat{\beta} \leq \kappa_b$ のとき、正規化された分配関数の分散は $n \to \infty$ でゼロに収束し、$\hat{\beta} > \kappa_b$ のときは発散する。ここで $\kappa_b > 0$ は明示的に計算可能である。
• $b = s$ の場合に $\hat{\beta} \leq \kappa_b$ のとき、正規化された分配関数に対して中心極限定理が成り立つ。
• $\widetilde{M}_n^n(0)$ の漸近的挙動は $\widetilde{M}_n^n(0) = \frac{6}{b+1}\frac{n}{\log n} + O\left(\frac{n}{\log^2 n}\right)$ であり、これは $b = s$ の場合の分散を支配する。
• 臨界閾値 $\kappa_b$ は、系の再帰的ダイナミクスから導出され、弱モーメント仮定の下で環境分布に依存しない。
• 解析により、$1 - r_n \sim \frac{b+1}{3(b-1)}\frac{\log n}{n}$ であることが明らかになり、これが分散のスケーリングおよび臨界 $\kappa_b$ の存在を裏付ける。