[論文レビュー] The Interpolation Theory of Radial Basis Functions

Brad Baxter|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 16被引用数 88

ひとこと要約

本学位論文は、$1 < p < 2$ の $p$-ノルムにおける径数基底関数（RBF）補間の存在および一意性を確立し、$p > 2$ の場合には特異な補間行列のため補間が失敗することを証明している。さらに、トーペリッツ構造とフーリエ解析を用いたプリコンディショニング付き共役勾配法を提案し、中心の数に依存しない反復回数で収束を達成する。これにより、正則グリッドでは $O(n\log n)$ の解法計算量が実現される。

ABSTRACT

In this dissertation, it is first shown that, when the radial basis function is a $p$-norm and $1 &lt; p &lt; 2$, interpolation is always possible when the points are all different and there are at least two of them. We then show that interpolation is not always possible when $p &gt; 2$. Specifically, for every $p &gt; 2$, we construct a set of different points in some $\Rd$ for which the interpolation matrix is singular. The greater part of this work investigates the sensitivity of radial basis function interpolants to changes in the function values at the interpolation points. Our early results show that it is possible to recast the work of Ball, Narcowich and Ward in the language of distributional Fourier transforms in an elegant way. We then use this language to study the interpolation matrices generated by subsets of regular grids. In particular, we are able to extend the classical theory of Toeplitz operators to calculate sharp bounds on the spectra of such matrices. Applying our understanding of these spectra, we construct preconditioners for the conjugate gradient solution of the interpolation equations. Our main result is that the number of steps required to achieve solution of the linear system to within a required tolerance can be independent of the number of interpolation points. The Toeplitz structure allows us to use fast Fourier transform techniques, which imp lies that the total number of operations is a multiple of $n \log n$, where $n$ is the number of interpolation points. Finally, we use some of our methods to study the behaviour of the multiquadric when its shape parameter increases to infinity. We find a surprising link with the {\it sinus cardinalis} or {\it sinc} function of Whittaker. Consequently, it can be highly useful to use a large shape parameter when approximating band-limited functions.

研究の動機と目的

• 多変数設定（任意の $d \geq 2$）における径数基底関数補間の理論的基盤を確立すること。
• 長年の未解決問題である、$p$-ノルム径数基底関数を用いた補間がいつ可能となるか、特に $1 < p < 2$ と $p > 2$ の違いを解明すること。
• 特に大きな形状パラメータによる悪条件系に起因する、RBF補間子の感度および条件数の分析。
• トーペリッツ行列のスペクトル的性質と高速フーリエ変換を用いて、大規模RBF系の効率的反復ソルバーを開発すること。
• 形状パラメータが無限大に近づく際の多積分RBFの漸近的挙動を調査し、バンド制限関数近似ととの関連を明らかにすること。

提案手法

• 分布的フーリエ変換と条件付き正定値関数を用いて、$p=2$ のシューベンの理論を $1 < p < 2$ に拡張する。
• $p > 2$ の補間行列が特異であることを示す明示的反例を構築し、補間が常に可能であるとは限らないことを証明する。
• トーペリッツ作用素およびポーヤ頻度関数の理論を応用して、正則グリッド上の距離行列の固有値を評価する。
• フーリエ解析とポアソン和公式を用いて鋭いスペクトル境界を導出し、効果的なプリコンディショナーの設計を可能にする。
• 高速フーリエ変換（FFTs）を用いて、プリコンディショニング付き共役勾配法を $O(n\log n)$ の計算量で実装する。
• 形状パラメータ $c \to \infty$ の際の多積分RBFの極限を分析し、ホイットリーク・カルディナル関数（sinc関数）に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補間点が相異なる場合、どの $p$-ノルムに対して径数基底関数補間が常に可能となるか。
• RQ2 形状パラメータが多積分RBF補間子の条件数および精度に果たす役割は何か。
• RQ3 共役勾配法は、反復回数が中心の数に依存しないようにプリコンディショニング可能か。
• RQ4 正則グリッド上でのRBF補間行列の固有値スペクトルはどのように振る舞い、高速解法に利用可能か。
• RQ5 形状パラメータを大きくした際の多積分RBFの漸近的挙動は何か。また、バンド制限関数近似とどのように関連するか。

主な発見

• $1 < p < 2$ の場合、$p$-ノルム径数基底関数による補間は常に可能であるが、$p > 2$ の場合には明示的な特異な補間行列の構築により、補間が常に可能ではないことが示された。
• 正則グリッドにおける補間行列の最小固有値は、形状パラメータ $c \to \infty$ の際に指数関数的にゼロに収束し、深刻な悪条件性を示している。
• 提案されたプリコンディショナーを用いることで、与えられた許容誤差までにRBF系を解くために必要な共役勾配反復回数は、中心数 $n$ に依存しない。
• FFTの使用により、プリコンディショニング付き共役勾配法アルゴリズムの総計算コストは $O(n\log n)$ に抑えられる。
• 大きな形状パラメータ $c$ を持つ多積分RBFは、ホイットリーク・カルディナル関数（sinc関数）に収束するため、バンド制限関数に対して高い精度を示す可能性がある。
• 最小間隔 $\delta$ を持つ任意の中心集合に対して、補間行列の逆行列ノルムの上界は、間隔 $\delta$ の正則グリッドに対応する上界によって抑えられると予想される。