[論文レビュー] The Interpretation of Quantum-Mechanical Models with Non-Hermitian Hamiltonians and Real Spectra

R. Kretschmer, L. Szymanowski|ArXiv.org|May 11, 2001

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、実スペクトルを有する非エルミートハミルトニアンを物理的に一貫した量子系として解釈するための一貫性のある量子力学的解釈を提案する。非標準的な内積を用いてハミルトニアンがヒルベルト空間内でエルミートになるように、そのヒルベルト空間を構築する。ハミルトニアンの時間発展演算子がユニタリになるように内積を定義し、物理的解釈の一貫性を保証する。ハミルトニアンが $ L_2(-\infty,\infty) $ の等価表現をもつモデルのみが物理的に一貫していることを示し、特に臨界パラメータ $ g_c $ におけるハミルトニアンの滑らかでない依存性から、ハチナ・ネルソン模型における相転移解釈に疑問を呈する。

ABSTRACT

We study the quantum-mechanical interpretation of models with non-Hermitian Hamiltonians and real spectra. We set up a general framework for the analysis of such systems in terms of Hermitian Hamiltonians defined in the usual Hilbert space $L_2(-\infty,\infty)$. Special emphasis is put on the correct definition of the algebra of physical observables. Within this scheme we consider various examples, including the model recently introduced by Cannata et al. and the model of Hatano and Nelson.

研究の動機と目的

• 実スペクトルを有する非エルミートハミルトニアンを物理的に一貫した量子系として解釈するための基礎的問題を解決すること。
• 波動関数が $ L_2(-\infty,\infty) $ に属さない場合に生じる一意な確率的解釈の欠如に対処すること。
• ハミルトニアン $ H = H(x^c, p^c) $ を満たす、正準的可換関係 $[x^c, p^c] = i\hbar$ を満たすエルミート演算子 $ x^c $ と $ p^c $ を用いた正準的定式化を確立すること。
• このようなモデルが標準的 $ L_2 $ 定式化に写像可能かどうかを特定し、物理的一致性を保証すること。
• 特に臨界パラメータ $ g_c $ における振る舞いに注目し、ハチナ・ネルソン模型における相転移解釈を批判的に評価すること。

提案手法

• 実固有値を有する非エルミートハミルトニアン $ H $ の固有関数の重ね合わせからヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ を構築し、$ H $ が $ \mathcal{H} $ 内でエルミートになるように非標準的な内積を定義する。
• 時間発展演算子がユニタリになるように内積を定義し、確率的解釈の一貫性を保証する。
• ハミルトニアンが $ H = H(x^c, p^c) $ を満たす正準的定式化を採用し、$ x^c $ と $ p^c $ が $[x^c, p^c] = i\hbar$ を満たすエルミート演算子として定義する。これにより、フォン・ノイマンの一意性定理に基づく一意な物理的解釈が可能になる。
• $ x^c $ と $ p^c $ が自己共役である場合、ヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ を $ L_2(-\infty,\infty) $ に写像し、標準的量子力学的記述を回復する。
• 非エルミートクーロン型系、$ V(x) = e^{2ix}/2 $ を持つカナタらのモデル、複素ポテンシャルを有するハチナ・ネルソン模型の3つのモデルにこの枠組みを適用する。
• $ g $ などの外部パラメータに依存するハミルトニアンの $ L_2 $ 定式化における依存性を分析し、特に $ g = g_c $ における遷移の性質を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実スペクトルを有する非エルミートハミルトニアンが $ L_2(-\infty,\infty) $ 内でエルミートでない場合、物理的に一貫した量子力学的系として解釈可能か？
• RQ2 ハミルトニアン $ H(x^c, p^c) $ を満たすエルミート演算子 $ x^c $ と $ p^c $ を用いた正準的定式化が構築可能となる条件は何か？また、その定式化が物理的一致性を保証する $ L_2 $ 表現を可能にする条件は何か？
• RQ3 ハチナ・ネルソン模型における拡散化遷移は真に相転移と見なせるのか、それともハミルトニアン構造の不連続な変化としてより適切に記述できるか？
• RQ4 臨界パラメータ $ g_c $ における $ L_2 $-同等ハミルトニアンの滑らかでない依存性が、標準的な相転移解釈を根底から覆すのか？
• RQ5 正準的定式化は可能だが $ L_2 $-同等表現を持たないカナタらのモデルのようなモデルは、物理的に一貫していると見なせるか？

主な発見

• 非エルミートクーロン型模型は正準的定式化を有するが、元のエルミート版と物理的に同等であり、新たな知見をもたらさない。
• $ V(x) = e^{2ix}/2 $ を持つカナタらのモデルは正準的定式化を許容するが、$ L_2 $-同等の記述は存在せず、これは本質的な物理的一致性の欠如を示唆する。
• ハチナ・ネルソン模型のハミルトニアンは、$ L_2 $-同等定式化において臨界パラメータ $ g_c $ で連続的微分可能ではなくなるため、相転移解釈に疑問を呈する。
• $ g_c $ における遷移は滑らかな相転移ではなく、磁場の即時切替に類似した不連続な挙動を示し、系の挙動に不連続な変化が生じることを示している。
• ヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ は結合定数 $ g $ に依存するため、$ \mathcal{H} $ が事前に固定されていない場合、$ g $ の値間での比較が困難である。
• ハミルトニアンが明確に定義されたヒルベルト空間内でエルミートである限り、物理的解釈は一貫する。そうでなければ、ユニタリ時間発展と確率的解釈は成立しない。