[論文レビュー] The interrelation of the special double confluent Heun equation and the equation of RSJ model of Josephson junction revisited

S. I. Tertychniy|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2018

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、正弦波バイアス下におけるオーバードンプドジョセフソン接合のRSJモデルの解と特殊な二重特異点ヘン方程式（sDCHE）の解の間の明示的な数学的写像を確立する。特異点を除いた複素平面における正則関数に作用する線形作用素の固有関数とそのモノドロミー性質を用いることで、モノドロミー変換の行列表現が導かれ、RSJモデルにおける位相ロックの挙動とsDCHEのスペクトル的性質との直接的な関連が明らかにされる。

ABSTRACT

The explicit formulas for the maps interconnecting the sets of solutions of the special double confluent Heun equation and the equation of the RSJ model of overdamped Josephson junction in case of shifted sinusoidal bias are given. The approach these are based upon leans on the extensive application of eigenfunctions of certain linear operator acting on functions holomorphic on the universal cover of the punctured complex plane. The functional equation the eigenfunctions noted obey is derived, the matrix form of the monodromy transformation they infer is given.

研究の動機と目的

• ジョセフソン接合のRSJモデルと特殊な二重特異点ヘン方程式（sDCHE）との間の厳密な数学的対応を確立すること。
• 特異点を除いた複素平面における正則関数に作用する特定の線形作用素の固有関数の関数的およびモノドロミー的性質を分析すること。
• sDCHEの解に対するモノドロミー変換の明示的行列表現を導出し、RSJモデルにおける位相ロックの挙動の研究を可能にすること。
• モノドロミー行列の非対角成分の消滅に基づく、ジョセフソン接合における位相ロックの新たな基準を提示すること。

提案手法

• 位相変数 φ(t) を Φ(z) = exp(iφ(t)) に写像し、z = exp(iωt) を用いて、時間発展を複素平面における単位円上に埋め込むことで、RSJ方程式の複素化を行う。
• Φ(z) に対するリッカティ型微分方程式（式2）を導出し、これをsDCHEに等価な線形2階常微分方程式に変換する。
• 微分と逆変換 z ↦ z⁻¹ を用いて定義される、正則関数に作用する線形作用素 LC を導入し、その固有関数が解析の中心的役割を果たす。
• LC の固有関数が sDCHE の解であることを特定し、作用素が z ↦ z⁻¹ に関して不変な定義域を保つことを示す。
• z = 0回りの解析接続によってモノドロミー変換を構成し、sDCHE 解の基底に作用する2×2行列（式44）として表現する。
• sDCHE 解のモノドロミー行列 M を、C* の普遍被覆における z = -1 の前像における固有関数の値を用いて明示的に導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正弦波バイアス下におけるオーバードンプドジョセフソン接合のRSJモデルの解は、どのようにして特殊な二重特異点ヘン方程式（sDCHE）の解と系統的に関連づけられるか？
• RQ2 作用素 LC の固有関数はどのような関数的および対称的性質を有するか？ また、それらは sDCHE とどのように関係するか？
• RQ3 sDCHE 解に対するモノドロミー変換の明示的形は何か？ そして、位相ロックのような動的挙動をどのようにエンコードするか？
• RQ4 RSJモデルにおける位相ロックの挙動は、sDCHE のスペクトル的性質、特にモノドロミー行列を通じて特徴づけられるか？

主な発見

• sDCHE のモノドロミー行列 M は行列形式で明示的に導出された（式44）、対角成分は実数かつ等しく、非対角成分は純虚数である。
• モノドロミー行列の行列式は恒等的に 1 であり、2階線形常微分方程式におけるワロンスキー積の保存則と整合する。
• モノドロミー行列の固有値が一致するのは、非対角成分のうちの一方が消える場合に限り、これはRSJモデルにおける位相ロックの新たな基準を提供する。
• RSJモデルにおける位相ロックの挙動は、モノドロミー行列の固有値の縮退に一致し、これは行列表現における非対角項の消滅と直接的に関連している。
• 作用素 LC の固有関数が満たす関数方程式が導出され、C* のリーマン面に沿った解析接続が完全に特徴づけられている。
• RSJモデルにおける φ(t) ↦ φ(t + 2π/ω) の変換は、sDCHE 解へのモノドロミー作用に対応し、時間発展と解析接続の間の動的同型を確立する。