[論文レビュー] The intersection homology D-module in positive characteristic

Manuel Blickle|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2002

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、正の特性の完備体上に定義された多様体 X と Y に対して、局所コhomologyモジュール H^c_Y(X, O_X) に一意な単純 D_X-部分モジュール L(Y,X) が存在することを確立している。これは複素幾何学における古典的結果の拡張である。タイト閉包理論に結びついた局所的構成を用いて、H^c_Y(X) の D_X-単純性に関する基準を提供し、Brylinski と Kashiwara の研究の特性 p 版を提示している。

ABSTRACT

For Y a closed normal subvariety of codimension c of a smooth complex variety X, Brylinski and Kashiwara showed that the local cohomology module H^c_Y(X,O_X) contains a unique simple D_X-submodule, denoted by L(Y,X). In this paper the analogous result is shown for X and Y defined over a perfect field of finite characteristic. Moreover, a local construction of Ll(Y,X) is given, relating it to the theory of tight closure. From the construction one obtains a criterion for the D_X-simplicity of H^c_Y(X).

研究の動機と目的

• 複素解析的結果である Brylinski と Kashiwara が H^c_Y(X,O_X) に一意な単純 D_X-部分モジュール L(Y,X) を示したのを、正の特性の完備体上に定義された多様体へ拡張すること。
• タイト閉包理論を用いて、正の特性における L(Y,X) の局所的構成を提供すること。
• 正の特性における局所コhomologyモジュール H^c_Y(X,O_X) の D_X-単純性に関する基準を確立すること。

提案手法

• 完備体上の D-モジュール理論を用いて、複素幾何的構成を正の特性に適応する。
• タイト閉包理論を用いて、H^c_Y(X,O_X) 内の局所的 D_X-部分モジュール L(Y,X) を定義および特徴付ける。
• 特定のイデアルのタイト閉包に関連する特定の元によって生成される D_X-部分モジュールとして、L(Y,X) を明示的に構成する。
• 局所コhomologyモジュールの構造と D_X-モジュール作用素を用いて、単純性を分析する。
• H^c_Y(X,O_X) の単純性を、被覆環におけるタイト閉包の性質に関連付ける。
• Frobenius 擬似写像とその局所コhomologyへの作用を用いて、D_X-モジュール構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素の場合と同様に、正の特性においても一意な単純 D_X-部分モジュール L(Y,X) が存在するか？
• RQ2 タイト閉包理論を用いて、正の特性における L(Y,X) を明示的にどのように構成できるか？
• RQ3 正の特性において H^c_Y(X,O_X) が D_X-単純であるための条件は何か？
• RQ4 Y の定義イデアルのタイト閉包は、H^c_Y(X) の D_X-モジュール構造とどのように関係するか？
• RQ5 タイト閉包の性質から、H^c_Y(X,O_X) の D_X-単純性に関する基準を導出できるか？

主な発見

• 正の特性における局所コhomologyモジュール H^c_Y(X,O_X) は、複素の場合に拡張された一意な単純 D_X-部分モジュール L(Y,X) を含む。
• タイト閉包理論を用いた局所的構成により、正の特性における D-モジュール構造と可換代数の関係が明示される。
• H^c_Y(X,O_X) の D_X-単純性は、Y の定義イデアルのタイト閉包に関する条件によって特徴付けられる。
• 構成により、L(Y,X) が特定の元によって生成され、その annihilator がタイト閉包イデアルに関連していることが示される。
• 本稿では、H^c_Y(X,O_X) が D_X-単純であるための必要十分条件が、Y の定義イデアルのタイト閉包が Frobenius 作用に関連する特定の条件を満たすことであると示されている。
• 結果として、Brylinski と Kashiwara の定理の正の特性版が得られ、単純性の新しい代数的幾何的基準が提示された。