[論文レビュー] The Intersection R-Torsion for Finite Cone

Xianzhe Dai, Xiaoling Huang|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限円錐の交差R torsionを、断面における組合せラプラシアンの行列式を用いて表す公式を確立し、偶数次元多様体上のホッジラプラシアンを用いた類似の解析的不変量を導入する。主な貢献は、位相的torsionとスペクトルデータを正確に結びつける式であり、メイヤー＝ヴェトリス系列や共形変換による計量変化における応用を含む。

ABSTRACT

We prove a formula for the intersection R-torsion of a finite cone and use it to introduce a family of spectral invariants which is closely related to Cheeger's half torsion.

研究の動機と目的

• 有限円錐の断面における組合せラプラシアンを用いて、交差R torsionを計算すること。
• 偶数次元多様体上のホッジラプラシアンを用いて、交差R torsionの解析的類似不変量を定義すること。
• 特に共形変換を含む計量の変形の下で、この解析的不変量の変化を研究すること。
• 交差コhomologyにおけるメイヤー＝ヴェトリス系列のR torsionを、ペア (M,Y) の相対コhomologyのR torsionと関連付けること。
• メイヤー＝ヴェトリス系列のR torsionが、切断された完全系列を介して自明または計算可能になる条件を確立すること。

提案手法

• 有限円錐 $ X = C(Y) $ の交差R torsion $ I\tau^{\bar{p}}(X) $ を、断面 $ Y $ における組合せラプラシアン $ \Delta_p^{(c)} $ の行列式の対数の和として表現し、係数はperversity $ \bar{p} $ に依存する。
• 組合せラプラシアンを、平坦ベクトル bundle $ E_\rho $ に係数を持つk-形式上のホッジラプラシアン $ \Delta_k $ に置き換えることで、解析的不変量 $ \ln T_p(Y,\rho) $ を定義する。
• 一パrameter族の計量 $ g(u) $ の下での $ \ln T_p(Y,\rho) $ の変化を導出し、コhomologyへの射影作用素のトレースと、熱核展開の定数項を含む。
• 交差コhomologyにおけるメイヤー＝ヴェトリス系列を用いて、円錐のtorsionをペア $ (M,Y) $ の相対コhomologyに関連づける。この際、Witt条件 $ H^{m/2}(Y) = 0 $ を仮定する。
• 熱核のホッジ分解 $ E_k = E_k^{ex} + E_k^{ce} + E_k^h $ を用いて、変化公式における特異部を分離する。
• 分割された短完全系列と好ましい基底を用いて、基底間の移行行列によるR torsionの計算を行い、等長条件の下で自明性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限円錐の交差R torsionは、その断面におけるスペクトルデータをどのように表現できるか？
• RQ2 偶数次元多様体に対して、交差R torsionの解析的類似物は何か？また、計量変化の下でどのように振る舞うか？
• RQ3 交差コhomologyにおけるメイヤー＝ヴェトリス系列のR torsionは、どのような条件下で相対コhomology系列のR torsionに還元されるか？
• RQ4 解析的torsion不変量 $ \ln T_p(Y,\rho) $ の計量変形による変化は、特に共形変換の場合にどのように依存するか？
• RQ5 解析的不変量 $ \ln T_p(Y,\rho) $ は、どのような条件下で局所的に計量に依存し、Witt条件はその役割を果たすか？

主な発見

• 有限円錐の交差R torsionは、$ \ln I\tau^{\bar{p}}(X) = \sum_{p=0}^{n-p_n-1}(-1)^{p+1}p\ln\det\Delta_p^{(c)} + (n-p_n)\sum_{p=p_n}^{n-1}(-1)^{p+1}\ln\det\Delta_p^{(c)} $ で与えられ、組合せラプラシアンの行列式と明示的に結びつけられる。
• 解析的不変量 $ \ln T_p(Y,\rho) $ は、ホッジラプラシアンの対数行列式の組み合わせとして定義され、$ p=0 $ の場合の通常の解析的torsionを一般化する。
• 計量変化の下での $ \ln T_p(Y,\rho) $ の変化は、コhomologyへの射影作用素のトレースと、熱核展開の定数項を含み、$ p = m/2 $ の場合に明快な局所的公式が得られる。
• $ p = m/2 $ の場合、変化は局所的になる：$ \frac{d}{du}\ln T_{m/2}(Y,\rho) = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{m/2-1}(-1)^{k+1}\operatorname{Tr}(P_{H^k}\alpha) + \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{m/2-1}(-1)^{k+1}\operatorname{LIM}_{t\to 0}\operatorname{Tr}(e^{-t\Delta_k}\alpha) $。
• Witt条件 $ H^{m/2}(Y) = 0 $ の下では、交差コhomologyにおけるメイヤー＝ヴェトリス系列のR torsionは、ペア $ (M,Y) $ の切断された相対コhomology系列のR torsionに等しい。
• 分割された短完全系列のR torsionは、射影および包含写像が好ましい基底を等長に保つ場合、移行行列の対角成分が1であるため、自明になることが、移行行列を用いて示された。