[論文レビュー] The interval turnpike property for adjoints

Timm Faulwasser, Lars Grüne+2 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有限次元および無限次元非線形最適制御問題における共役変数の区間パラダイム性質を確立する。状態変数および制御変数が、時間の大部分において安定状態解に近い状態に保たれる、すなわちパラダイム性質を示すならば、一階最適性条件の連続性仮定の下で、共役変数もその対応する安定状態共役変数に収束することを示す。この結果は、有限次元の不安定部分を持つ可安定系に対して成り立ち、解析的半群の仮定の下で強化され、境界制御を施した非線形熱方程式の例によって検証される。

ABSTRACT

In this work we derive an interval turnpike result for adjoints of finite- and infinite-dimensional nonlinear optimal control problems under the assumption of an interval turnpike on states and controls. We consider stabilizable dynamics governed by a generator of a semigroup with finite-dimensional unstable part satisfying a spectral decomposition condition and show the desired turnpike property under continuity assumptions on the first-order optimality conditions. We further give stronger estimates for analytic semigroups and provide a numerical example with a boundary controlled semilinear heat equation to illustrate the results.

研究の動機と目的

• 状態および制御変数が区間パラダイム性質を示す最適制御問題における共役変数のパラダイム性質を確立すること。
• 有限次元の不安定部分を有する半群生成子によって記述される無限次元系における共役変数へのパラダイム理論の拡張。
• 初期条件やシステムパラメータの小規模性仮定を必要とせず、状態および制御の収束から共役変数の収束が導かれる条件の特定。
• 解析的半群の仮定の下で推定値を強化し、境界制御を施した非線形熱方程式を用いて理論的結果を数値的に検証すること。
• 状態および制御における区間パラダイム性質を満たす十分条件の同定により、共役変数のパラダイム性結果を可能にする。

提案手法

• バナッハ空間設定において最適制御問題を定式化し、強く連続な半群の生成子と有界な制御作用素を用いる。
• 共役変数を含む一階必要最適性条件を導出し、最適性系の連続性仮定の下でその収束を分析する。
• 状態および制御に区間パラダイム性質を仮定する。これは、時間の長さTに比例して成長する区間内で、状態および制御が安定状態解に近接していることを意味する。
• 系の生成子に関するスペクトル分解および可安定性仮定の下で、状態および制御が平衡に近接する区間において、共役変数がその安定状態共役変数に収束することを証明する。
• 解析的半群の仮定の下で収束推定値を強化し、共役変数の正則性および収束速度を向上させる。
• 2次元の境界制御を施した非線形熱方程式を用いて理論的結果を数値的に検証し、状態、制御、および共役変数におけるパラダイム性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形最適制御問題において、状態および制御のパラダイム性が、対応する共役変数のパラダイム性をどのように導くか。
• RQ2 初期条件やシステムパラメータの小規模性仮定を必要とせず、共役変数のパラダイム性を確立できるか。
• RQ3 解析的半群の性質が、無限次元最適制御問題における共役変数の収束推定値をどのように改善するか。
• RQ4 状態および制御が平衡に近接する時間区間において、共役変数の差の有界性を保証する条件は何か。
• RQ5 特にPDE制約付き最適制御問題において、状態および制御の区間パラダイム性を実際の問題でどのように検証できるか。

主な発見

• 一階最適性条件の連続性仮定の下で、状態および制御が平衡に近接する区間において、共役変数はその安定状態共役変数に収束する。
• 有限次元の不安定部分とスペクトル分解を持つ系に対しては、可安定性および連続性仮定の下で、共役変数のパラダイム性が成立する。
• 解析的半群の仮定の下では、L2(Ω)およびH1(Ω)ノルムの両方において、共役変数のより強い収束推定値が得られる。
• 数値的結果は、2次元領域における境界制御を施した非線形熱方程式において、状態、制御、および共役変数がすべてパラダイム性を示すことを確認している。
• 平衡コストが消える特定の例において、共役変数の差の有界性条件が検証されたが、本稿ではこれが制限的仮定であると指摘している。
• 理論的枠組みは、適切な許容性または古典的解条件の下で、境界制御問題における非有界制御作用素への拡張を可能にする。