[論文レビュー] The Intrinsic Flat Distance between Riemannian Manifolds and other Integral Current Spaces

Christina Sormani, Stefan Wenger|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、共通の距離空間への等長埋め込みを介してフラット距離を測り、そのような埋め込みのすべてについて下限を取ることで、リーマン多様体および整数的カレント空間の間の内在的フラット距離を導入する。主な貢献は、2つのコンパクトな向き付けられたリーマン多様体の内在的フラット距離がゼロであるための必要十分条件がそれらが等長であることであることを証明し、体積と直径が有界な多様体の列が可算個の $χ^{m}$-可縮な極限空間に収束することを確立することにある。

ABSTRACT

Inspired by the Gromov-Hausdorff distance, we define the intrinsic flat distance between oriented $m$ dimensional Riemannian manifolds with boundary by isometrically embedding the manifolds into a common metric space, measuring the flat distance between them and taking an infimum over all isometric embeddings and all common metric spaces. This is made rigorous by applying Ambrosio-Kirchheim's extension of Federer-Fleming's notion of integral currents to arbitrary metric spaces. We prove the intrinsic flat distance between two compact oriented Riemannian manifolds is zero iff they have an orientation preserving isometry between them. Using the theory of Ambrosio-Kirchheim, we study converging sequences of manifolds and their limits, which are in a class of metric spaces that we call integral current spaces. We describe the properties of such spaces including the fact that they are countably $\mathcal{H}^m$ rectifiable spaces and present numerous examples.

研究の動機と目的

• フラット収束を一般化する、リーマン多様体および整数的カレント空間の間の新しい内在的距離の定義。
• グロモフ＝ハウスドルフ収束が失敗する場合でも、多様体の列がこの新しい意味で収束する条件の確立。
• 2つのコンパクトで向き付けられたリーマン多様体の間の内在的フラット距離がゼロであるための必要十分条件がそれらが等長であることであることを証明。
• 内在的フラット収束する列の極限を、可算個の $χ^{m}$-可縮な距離空間として特徴づける。
• 内在的フラット収束が可縮性を保存し、特異点や収縮構造を含む極限を許容できることを示す。これはスカラー曲率が正であっても成り立つ。

提案手法

• 共通の距離空間への等長埋め込みを介して内在的フラット距離を定義し、すべてのこのような埋め込みと空間について下限を取ることで定義する。
• アンブロシオ＝キルヒハイムの距離空間上の整数的カレント理論を応用し、リーマン多様体の極限として整数的カレント空間を定義する。
• 共通の距離空間内のカレント間のフラット距離を用いて、多様体間の距離を測定し、質量ノルム $ØØ$ を活用する。
• フラット距離の下限が、埋め込みカレントと体積推定を用いた構成によって達成されることを証明する。
• リプシッチおよび滑らかな収束定理を用いて、内在的フラット収束が極限におけるカレントを保存する等長写像と関連づける。
• コンパクト性定理（例：ウェンガーの定理）を用いて、体積と直径が有界な列が内在的フラット収束する部分列を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロモフ＝ハウスドルフ収束が失敗する場合でも、弱収束を捉えることができるリーマン多様体間の新しい内在的距離を定義できるか？
• RQ2 正のスカラー曲率をもつ多様体の列が、弱い意味でどのような条件下で極限空間に収束するか？
• RQ3 内在的フラット収束における極限空間の幾何学的および測度論的性質は何か？
• RQ4 2つの多様体の内在的フラット距離がゼロであるための必要十分条件がそれらが等長であることであるか？
• RQ5 内在的フラット極限が非コンパクトであるか、無限質量をもつことはあり得るか？また、このような状況を防ぐ条件は何か？

主な発見

• 2つのコンパクトで向き付けられたリーマン多様体の内在的フラット距離がゼロであるための必要十分条件は、向きを保つ等長写像による同型であることである。
• 直径と体積が一様に有界なリーマン多様体の列は、内在的フラットの意味で可算個の $χ^{m}$-可縮な距離空間に収束する。
• 内在的フラット収束する列の極限空間は整数的カレント空間であり、可算個の $χ^{m}$-可縮かつ有限質量を持つ。
• 有限質量の整数的カレント空間に収束しない、内在的フラット距離におけるコーシー列が存在する。これは、整数的カレント空間の空間が完備でないことを示している。
• 内在的フラット極限はキャンセル、収縮、または二重化を示すことができ、必ずしも前コンパクトでも、測地的でもない。
• スカラー曲率が正である3次元球面の列であるイルマーデンの例は、グロモフ＝ハウスドルフ収束しないが、内在的フラット収束の意味で標準的な2次元球面に収束する。