[論文レビュー] The intrinsic stable normal cone

Marc Levine|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、等変モチビック安定ホモトピー圏における内在的安定正規被覆を構成し、任意のモチビックコホモロジー理論に対してねじれ付きBorel-Mooreホモロジーにおける仮想基本類の定義を可能にする。これは、Behrend-Fantechiの仮想基本類をモチビックホモトピー理論へ一般化し、チャウ群やヘルミートK理論、チャウ・ウィット理論といった向き付け可能理論を含む古典的不変量を回復・拡張する。

ABSTRACT

We construct an analog of the intrinsic normal cone of Behrend-Fantechi in the equivariant motivic stable homotopy category over a base-scheme B and construct a fundament class in E-cohomology for any cohomology theory E in SH(B). For affine B, a perfect obstruction theory gives rise to a virtual fundamental class in a twisted Borel-Moore E-homology for arbitrary E. This includes motivic cohomology (homotopy invariant) K-theory algebraic cobordism and the oriented Chow groups of Barge-Morel and Fasel. In the case of motivic cohomology, we recover the constructions of Behrend-Fantechi, with values in the Chow group.

研究の動機と目的

• 代数コボルディズムやチャウ群を超えて、任意のモチビックコホモロジー理論へ仮想基本類の構成を拡張すること。
• 代数コボルディズムのような一般的なモチビックコホモロジー理論では基本類が一般に存在しないという制限を克服すること。
• モチビック安定ホモトピー理論における数え上げ不変量のホモトピー論的枠組みを提供すること。
• 等変モチビック安定ホモトピー理論の文脈において、Behrend-Fantechiの構成を一般化し、スタック理論的基盤を必要としないこと。
• 臨界軌跡の場合はA1局所次数を用いて、古典的不変量（チャウ群における次数やGW(k)値不変量）を回復すること。

提案手法

• G-準射影的B-スキームに対して、等変モチビック安定ホモトピー圏$\mathrm{SH}^G(B)$における内在的安定正規被覆$\mathfrak{C}^{st}_Z$を構成する。
• モチビック球体スペンサーを用いて、コホモトピー$\mathbb{S}^{0,0}_{B}(\mathfrak{C}^{st}_Z)$における基本類$[\mathfrak{C}^{st}_Z]$を定義する。
• 完全な障害理論$[\phi]: E_\bullet \to \mathbb{L}_{Z/B}$に対して、ねじれ付きBorel-Mooreホモロジー$\mathbb{S}^{\mathrm{B.M.}}(Z, \mathbb{V}(E_\bullet))$における仮想基本類$[Z,\phi]^{\mathrm{vir}}$を構成する。
• 単位写像$\epsilon_\mathcal{E}: \mathbb{S}_B \to \mathcal{E}$を適用して、任意のモチビック環スペンサー$\mathcal{E}$へクラスを上げ、$\mathcal{E}^{\mathrm{B.M.}}(Z, \mathbb{V}(E_\bullet))$における$[Z,\phi]^{\mathrm{vir}}_\mathcal{E}$を得る。
• ホモトピー不変性と$\mathbb{A}^1$-局所次数を用いて、臨界軌跡の場合に仮想クラスの押し出し写像が$\mathbb{A}^1$-次数に一致することを特定する。
• 命題7.2による選択の独立性の証明により、モチビック設定における仮想クラスのwell-definednessを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 仮想基本類は、チャウ群を超えて任意のモチビックコホモロジー理論へどのように一般化できるか？
• RQ2 完全なスタック理論的枠組みが存在しない状況下でも、内在的正規被覆の構成をモチビック安定ホモトピー理論へ適応できるか？
• RQ3 $\mathbb{A}^1$-局所次数が、モチビック不変量における古典的交差重複度の代わりに果たす役割は何か？
• RQ4 モチビック設定において、仮想基本類は押し出し写像や退化の下でどのように振る舞うか？
• RQ5 滑らかなスキーム上の関数の臨界軌跡は、モチビックコホモロジーにおける仮想基本類として取り扱えるか？

主な発見

• 内在的安定正規被覆$\mathfrak{C}^{st}_Z$は$\mathrm{SH}^G(B)$に構成され、古典的内在的正規被覆のホモトピー論的置換を提供する。
• 基本類$[\mathfrak{C}^{st}_Z]$はコホモトピー$\mathbb{S}^{0,0}_{B}(\mathfrak{C}^{st}_Z)$に存在し、これにより後の仮想クラスの構成が可能になる。
• 任意のモチビックコホモロジー理論$\mathcal{E}$に対して、仮想基本類$[Z,\phi]^{\mathrm{vir}}_\mathcal{E}$はwell-definedであり、選択に依存しない。命題7.2で示された。
• $\mathcal{E} = H\mathbb{Z}$の場合、この構成はチャウ群における古典的仮想基本類を回復する。
• 臨界軌跡が零次元の場合、仮想クラスの押し出し写像は$\mathbb{A}^1$-局所次数に等しくなる：$\pi_{Z*}([Z,\partial_f]^{\mathrm{vir}}) = \delta_{\mathbb{A}^1}(\partial f, Z_{\mathrm{red}})$ in $\mathrm{GW}(k)$。
• 関数$f: \mathbb{A}^n \to \mathbb{A}^1$が零次元の臨界軌跡$Z$を持つ場合、仮想クラスの次数はヤコビアン写像の$\mathbb{A}^1$-次数に等しくなり、$\mathrm{GW}(k)$-値不変量をもたらす。