[論文レビュー] The intrinsic torsion of SU(3) and G_2 structures

Simon G. Chiossi, Simon Salamon|ArXiv.org|Feb 26, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 114

ひとこと要約

本稿は、6-および7-次元多様体上のSU(3)-構造およびG2-構造の内在的ねじれを、幾何的還元を通じて関連付けることで分析する。特に、SU(3)-構造のねじれテンソルτ₁の成分を、G2-構造のτ₂の成分に結びつける。G2-構造は、6-次元多様体上のS¹バンドルを介してSU(3)-構造から構成可能であり、特にτ₁がW₂⁺に属する場合、自己双対なシンプレクティック構造と閉じた(1,1)-形式を持つことから、ホロノミーがG2に還元される条件を特定する。

ABSTRACT

We analyse the relationship between the components of the intrinsic torsion of an SU(3) structure on a 6-manifold and a G_2 structure on a 7-manifold. Various examples illustrate the type of SU(3) structure that can arise as a reduction of a metric with holonomy G_2.

研究の動機と目的

• 6-次元多様体上のSU(3)-構造の内在的ねじれと、7-次元多様体上のG2-構造の内在的ねじれの代数的および幾何的関係を明確化すること。
• SU(3)-構造のτ₁の成分が、幾何的還元においてG2-構造のτ₂の成分をどのように決定するかを特定すること。
• ケーラー的3-fold上のS¹バンドルを介して、SU(3)-構造からG2-構造を構成することを調査すること。
• 特に、半平坦なSU(3)-構造とその共形変形の文脈において、G2ホロノミーを持つ計量が生じる条件を特定すること。
• dψ₊およびdψ₋の(2,2)-成分に基づく、SU(3)-構造の共形不変分類を確立すること。

提案手法

• 表現論を用いて、τ₁ ∈ T*⊗su(3)⊥をU(3)-およびSU(3)-モジュールに対応する、不可約成分W₁, W₂, W₃, W₄, W₅に分解する。
• ニエンヒイズ・テンソルおよびω, ψ₊, ψ₋の外微分を用いてτ₁の成分を計算し、特にdωおよびdψ₋に注目する。
• 6-次元多様体上のSU(3)-構造を基に、接続1-形式および曲率2-形式ρを用いて7-次元多様体上のG2-構造を構成する。
• 半平坦なSU(3)-構造の発展方程式を導出し、それらをヒチンの流れ方程式に関連付ける。
• ケーラー的3-fold上の標準的S¹バンドルを分析し、局所座標(a₁, a₂, r)および形式b₁, b₂を導入して、G2-構造方程式dψ₊ = α ∧ ψ₋およびdα = ρを導出する。
• 共形変換を適用してS¹軌道サイズが一定でない場合の仮定を緩和し、W₅成分が非ゼロとなり、ρ = ρ₁ + ρ₂が閉じることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6-次元多様体上のSU(3)-構造の内在的ねじれτ₁の成分は、7-次元多様体上のG2-構造のτ₂の成分をどのように決定するか？
• RQ2 τ₁にどのような条件が満たされると、関連する計量のホロノミーがG2に還元されるか？
• RQ3 ケーラー的3-fold上のS¹バンドルにSU(3)-構造を備えた場合、特定のねじれ成分を持つG2-構造がどのように生じるか？
• RQ4 dψ₊およびdψ₋の(2,2)-成分は、SU(3)-構造を自己双対または反自己双対に分類する上で果たす役割は何か？
• RQ5 S¹軌道サイズが一定でない場合、不完全なG2計量を一般化可能か？その結果得られるねじれ構造はどのようなものか？

主な発見

• SU(3)-構造の内在的ねじれτ₁はW₁ ⊕ W₂ ⊕ W₃ ⊕ W₄ ⊕ W₅に属し、W₅ ∼= Tは新しい共形不変成分である。
• τ₁ ∈ W₂⁺のとき、G2多様体Mの商多様体M = M/S¹は、dψ₋ = 0およびdω = 0を満たすSU(3)-構造を持ち、これは自己双対なシンプレクティック構造に対応する。
• 正のスカラー曲率を有するケーラー・アインシュタイン6-次元多様体の標準的S¹バンドルは、τ₂ ∈ X₁を有するほぼ平行なG2-構造を備える。
• S¹バンドル上のG2-構造は、dψ₊ = α ∧ ψ₋およびdα = ρを満たし、これによりτ₂ ∈ X₁ ⊕ X₃が得られる。
• S¹軌道サイズが一定でない場合、共形変換によりd(e²ᶠω) = 0およびρ = ρ₁ + ρ₂が閉じ、W₅ = −dfが非ゼロとなり、τ₁ = 0の場合が一般化される。
• RP⁷上のG2不変形式の空間は1次元であるため、RP⁷はτ₂ ∈ X₁を有するほぼ平行なG2-構造を備える。