[論文レビュー] The $λ$-invariant measures of subcritical Bienaymé--Galton--Watson processes

Pascal Maillard|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2015

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、滅亡時に停止するサブクリティカルな Bienaymé–Galton–Watson 確率過程の λ-不変測度について、明示的な積分表現を提供し、スケーリング不変測度 Λ を用いた母関数の公式によって、すべての擬ステーションナリィ分布を特徴づける。主な貢献は、マーティン境界論に依存せずに、すべての λ に対して最小の λ-Martin 入口境界を特定する、新しい素朴な導出法である。これは、Kesten–Spitzer の公式をマーティン境界論を用いずに拡張したものである。

ABSTRACT

A $λ$-invariant measure of a sub-Markov chain is a left eigenvector of its transition matrix of eigenvalue $λ$. In this article, we give an explicit integral representation of the $λ$-invariant measures of subcritical Bienaymé--Galton--Watson processes killed upon extinction, i.e.\ upon hitting the origin. In particular, this characterizes all quasi-stationary distributions of these processes. Our formula extends the Kesten--Spitzer formula for the (1-)invariant measures of such a process and can be interpreted as the identification of its minimal $λ$-Martin entrance boundary for all $λ$. In the particular case of quasi-stationary distributions, we also present an equivalent characterization in terms of semi-stable subordinators. Unlike Kesten and Spitzer's arguments, our proofs are elementary and do not rely on Martin boundary theory.

研究の動機と目的

• 滅亡時に停止するサブクリティカルな Bienaymé–Galton–Watson 確率過程の λ-不変測度を完全かつ明示的に特徴づけること。
• 古典的な Kesten–Spitzer の公式（1-不変測度のもの）を λ ∈ (0, m) 全体に拡張し、擬ステーションナリィ分布を含むこと。
• 明示的な積分表現を用いて、このような過程の最小の λ-Martin 入口境界を同定すること。
• マーティン境界論に依存せず、高度なポテンシャル理論的道具に依存する従来の手法とは対照的に、素朴な証明を提供すること。
• 半安定な副順序過程とスケーリング不変測度 Λ on (0, ∞) を用いた、擬ステーションナリィ分布の新しい特徴づけを確立すること。

提案手法

• H(z) を Yaglom 限界 ν_min の母関数とするとき、G(z) = ∫₀^∞ (e^(H(z)−1)x − e^−x) x^−α Λ(dx) により、λ-不変測度の母関数 G(z) の積分表現を導出する。
• すべてのボレル集合 A ⊂ (0, ∞) に対して Λ(A) = Λ(mA) が成り立つスケーリング性を用いて、m^α-不変測度に関連する測度 Λ を特徴づける。
• μ_n(A) = m^{−αn} ν(p_n^{−1}A) によるスケーリングされた経験的測度の弱収束極限として、測度 x^−αΛ(dx) を構成する。ここで p_n = P₁(Z_n > 0) である。
• m^α-不変測度と、G(F(z)) − G(F(0)) = λG(z) というシュレーディンガー型関数方程式の解との間の同値性を確立する。ここで λ = m^α である。
• 積分表現を自己同形過程のラプラス＝スティルチェス変換として解釈することで、解を半安定な副順序過程に関連付ける。
• ν から Λ の一意性を証明し、この積分によって定義される母関数 G(z) が収束半径が少なくとも 1 であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滅亡時に停止するサブクリティカルな Bienaymé–Galton–Watson 確率過程の、λ-不変測度の完全な集合は何か？
• RQ2 このような過程の擬ステーションナリィ分布は、明示的な積分表現を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 すべての λ ∈ (0, m) に対して、λ-Martin 入口境界を明示的に同定できるか？ もしそうなら、その方法は何か？
• RQ4 マーティン境界論に依存せず、直接的な確率論的解釈が可能な m^α-不変測度の表現は存在するか？
• RQ5 積分公式におけるスケーリング不変測度 Λ と不変測度の尾挙動との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• λ < m のとき、非自明な λ-不変測度は存在しない。これは存在の鋭い閾値を示している。
• m-不変測度は、Yaglom 限界 ν_min のスカラー倍に限られる。ν_min は唯一の m-不変確率測度である。
• 各 α ∈ (−∞, 1) に対して、m^α-不変測度は、すべてのボレル集合 A ⊂ (0, ∞) に対して Λ(A) = Λ(mA) を満たす局所有限測度 Λ と一対一対応する。この対応は積分公式 G(z) = ∫₀^∞ (e^(H(z)−1)x − e^−x) x^{−α} Λ(dx) によって与えられる。
• この公式によって定義される母関数 G(z) は収束半径が少なくとも 1 であり、|z| < 1 で収束することが保証される。
• λ = m^α（α ∈ (0, 1)）である擬ステーションナリィ分布は、追加の正規化条件 ∫₀^∞ (1 − e^{−x}) x^{−α} Λ(dx) = 1 を満たす同じ積分公式によって特徴づけられる。
• 測度 Λ は不変測度 ν によって一意に定まり、この表現は関数方程式における周期関数や非構成的変換を避ける、新しい明示的かつ素朴な特徴づけを提供する。