[論文レビュー] The inverse along an element in rings with an involution, Banach algebras and $C^*$-algebras

Julio Benítez, Enrico Boasso|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、自己随伴を伴う環、バナッハ代数、C*-代数における要素の逆元の逆元について検討し、ムーア・ペンローズ逆、ドレイジン逆、群逆といった一般化された逆を一つの枠組みで統一する。連続性、ラプラス変換による積分表現、収束のためのスペクトル条件を確立し、スペクトルが右半平面にある場合、要素の逆元は指数写像の積分として表現できることを示している。

ABSTRACT

Properties of the inverse along an element in rings with an involution, Banach algebras and $C^*$-alegbras will be studied unifying known expressions concerning generalized inverses.

研究の動機と目的

• 一般化された逆—ムーア・ペンローズ逆、ドレイジン逆、群逆—を「要素の逆元」という概念の下で統一すること。
• 要素の逆元の理論を、自己随伴を伴う環、バナッハ代数、C*-代数へと拡張すること。
• 要素の逆元が存在し、良好に振る舞うためのスペクトル的および連続性の条件を確立すること。
• 要素の逆元と重み付きムーア・ペンローズ逆元との関係を明らかにし、作用素代数におけるその構造を明確にすること。
• バナッハ代数におけるラプラス型積分を用いた、要素の逆元の積分表現を導出すること。

提案手法

• 要素の逆元の定義を用いる：要素 $ a $ が $ d $ に沿って逆元を持つとは、$ bab = b $、$ b\mathcal{R} = d\mathcal{R} $、および $ \mathcal{R}b = \mathcal{R}d $ を満たす一意な $ b = a^\top d $ が存在することを意味する。
• 特に、$ \sigma(da) \setminus \{0\} \subset \{ z \in \mathbb{C} : \operatorname{Re}(z) > 0 \} $ であるという条件を用いて、バナッハ代数におけるスペクトル理論を適用し、積分表現を導出する。
• スペクトルが開いた右半平面にある要素に対して、$ x^{-1} = \int_0^\infty \exp(-tx) \, dt $ というラプラス変換の恒等式を用いる。
• 部分代数 $ p\mathcal{B}p $ における行列に類似したブロック表現を用いて、$ da $ を分解し、スペクトルを分析する。
• 冪等元 $ p = dd^{-} $ を用いた分解により、問題をコーナー部分代数における逆元に還元する。
• 差 $ a, b, d, e $ 及びそれらの内部逆元を含む、$ b^{\parallel e} - a^{\parallel d} $ の摂動公式を導出し、連続性の分析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己随伴を伴う環において、要素の逆元はどのように特徴づけられるのか。また、随伴はどのような対称性を誘発するのか。
• RQ2 要素の逆元がラプラス変換による積分表現をもつためのスペクトル的条件は何か。
• RQ3 *-代数において、要素の逆元と重み付きムーア・ペンローズ逆元との関係は何か。
• RQ4 バナッハ代数において、数列のノルム収束下で要素の逆元はどのように振る舞うか。
• RQ5 バナッハ代数において、写像 $ (a,d) \mapsto a^{\parallel d} $ の連続性を保証する条件は何か。

主な発見

• 要素の逆元 $ a^{\parallel d} $ が存在するための必要十分条件は、$ d $ が正則であり、かつ $ a $ と $ b = a^{\parallel d} $ の像および核のイデアルが一致することである。
• バナッハ代数において、$ \sigma(da) \setminus \{0\} \subset \{ z \in \mathbb{C} : \operatorname{Re}(z) > 0 \} $ ならば、$ a^{\parallel d} = \int_0^\infty \exp(-tda) \, dt $ が成り立ち、これにより積分表現が得られる。
• 要素の逆元は $ (a^{\parallel d})^* = (a^*)^{\parallel d^*} $ を満たし、*-代数における随伴と整合性を示す。
• バナッハ代数の文脈において、要素の逆元は連続である：$ a_n \to a $、$ d_n \to d $ であり、$ a_n^{\parallel d_n} $ が有界で、内部逆元が一様に有界ならば、$ a_n^{\parallel d_n} \to a^{\parallel d} $ である。
• 要素の逆元はムーア・ペンローズ逆元を一般化する：$ a $ がムーア・ペンローズ逆元を持つための必要十分条件は、$ a $ が $ a^* $ に沿って逆元を持つことである。同様にドレイジン逆や群逆に対しても同様の関係が成り立つ。
• 摂動公式 $ b^{\parallel e} - a^{\parallel d} = b^{\parallel e}e^{-}(e-d)(1-aa^{\parallel d}) + (1-b^{\parallel e}b)(e-d)d^{-}a^{\parallel d} + b^{\parallel e}(a-b)a^{\parallel d} $ により、安定性および収束解析が可能になる。