[論文レビュー] The inverse eigenvalue problem for quantum channels

Michael M. Wolf, David Pérez García|arXiv (Cornell University)|May 25, 2010

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 18被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、完全正値性およびトレース保存性を満たす写像としての量子チャネルの逆固有値問題を解き、特にqubitチャネル（d=4）に対して完全な解を提供する。量子チャネルの非ゼロ固有値は、確率的行列（stochastic matrix）の固有値と類似しており、特に周辺固有値（絶対値が1の固有値）に対する制約を導出し、与えられた時系列または相関関数が特定の次元の量子チャネルによって生成可能かどうかを判断するためのツールを提供する。

ABSTRACT

Given a list of n complex numbers, when can it be the spectrum of a quantum channel, i.e., a completely positive trace preserving map? We provide an explicit solution for the n=4 case and show that in general the characterization of the non-zero part of the spectrum can essentially be given in terms of its classical counterpart - the non-zero spectrum of a stochastic matrix. A detailed comparison between the classical and quantum case is given. We discuss applications of our findings in the analysis of time-series and correlation functions and provide a general characterization of the peripheral spectrum, i.e., the set of eigenvalues of modulus one. We show that while the peripheral eigen-system has the same structure for all Schwarz maps, the constraints imposed on the rest of the spectrum change immediately if one departs from complete positivity.

研究の動機と目的

• 量子チャネル（完全正値性およびトレース保存性を満たす写像）の固有値として取りうる複素数のリストがどのようなものかを特定すること。
• 量子情報における基本的ケースであるqubitチャネル（d=4）の固有値の完全な特徴付けを提供すること。
• 量子チャネルの固有値的性質とその古典的類似物（確率的行列）との関係、特に非ゼロ固有値部分についての明確化。
• 周辺固有値（絶対値が1の固有値）の構造的制約を完全正値性の観点から分析すること。
• 与えられた時系列または相関関数が特定の次元の量子チャネルによって生成可能かどうかを識別するための手法の確立。

提案手法

• 密度演算子の空間に作用する $d^2 \times d^2$ 行列としての量子チャネルの行列表現を用いる。
• 完全正値性とトレース保存性の概念を適用し、固有値に必要な十分条件を導出する。
• 一般の正値写像をトレース保存写像に帰着させるために類似変換を用い、固有値をスペクトル半径でスケーリングする。
• z変換とCayley-Hamiltonの定理を用いて、時系列の系列とその変換の極（pole）との関係を確立し、それらが固有値に対応することを示す。
• 量子チャネルのスペクトル構造と確率的行列のスペクトル構造を比較し、非ゼロ固有値部分に顕著な類似性があることを特定する。
• 固有ベクトルと絶対値が1の固有値の構造を分析し、すべてのSchwarz写像において周辺固有値系が一様に制約されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような複素数のリストが、特にqubit系において量子チャネルの固有値として現れることができるか？
• RQ2 量子チャネルの非ゼロ固有値は、古典的確率的行列の固有値とどのように関係しているか？
• RQ3 完全正値性によって、周辺固有値（絶対値が1の固有値）にどのような制約が課されるか？
• RQ4 与えられた時系列系列が特定の次元の量子チャネルによって生成可能かどうかを、スペクトルデータからどのように特定できるか？
• RQ5 完全正値性は、単に正値写像と比較して、量子チャネルの固有値制約をどのように特徴づけるか？

主な発見

• qubitチャネル（d=4）に対して、本稿は可能固有値の集合を完全かつ明示的に特徴付け、固有値に必要な十分条件を提示する。
• 量子チャネルの非ゼロ固有値部分は、確率的行列の非ゼロ固有値部分と本質的に同じ方法で制約されており、強い古典的・量子的類似性を確立する。
• 周辺固有値（絶対値が1の固有値）は、すべてのSchwarz写像において一様な構造を示し、完全正値性のもとでもこの構造が保たれる。
• 時系列 $a_t = \langle A | \hat{T}^t | \rho \rangle$ が量子チャネルによって生成可能であるための必要十分条件は、そのz変換の極が、与えられたチャネル次元に対応する有効固有値集合 $\mathcal{T}$ の中に存在することである。
• 例として $a_t = \text{Im}[(1-i)^t x^t]/\sqrt{2} + y^t$ を取り上げると、この系列は正値トレース保存写像によって生成可能であるが、量子チャネルによって生成可能となるのは $|x| \leq 1/\sqrt{2}$ かつ $|y| \leq 1$ のときのみであり、完全正値性による stricter 制約が顕在化する。
• 正値写像のスペクトル半径は1であり、トレース保存写像では1は常に固有値である。完全正値性は、他の固有値の位置と重複度をさらに制限する。