[論文レビュー] The inverse integrating factor and the Poincaré map

Isaac A. García, Héctor Giacomini+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2007

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、平面上の解析的微分方程式系において、逆積分因子とポアンカレ帰着写像の直接的な関係を確立し、極小周期軌道の多重度が、それに対して逆積分因子の消滅多重度に等しいことを示している。さらに、線形化可能なサドル点を含む非代数的ケースでさえも、双曲的サドルにおけるホモクリニクスループのサイクル性が、逆積分因子の消滅多重度によって決定されることを証明している。

ABSTRACT

This work is concerned with planar real analytic differential systems with an analytic inverse integrating factor defined in a neighborhood of a regular orbit. We show that the inverse integrating factor defines an ordinary differential equation for the transition map along the orbit. When the regular orbit is a limit cycle, we can determine its associated Poincaré return map in terms of the inverse integrating factor. In particular, we show that the multiplicity of a limit cycle coincides with the vanishing multiplicity of an inverse integrating factor over it. We also apply this result to study the homoclinic loop bifurcation. We only consider homoclinic loops whose critical point is a hyperbolic saddle and whose Poincaré return map is not the identity. A local analysis of the inverse integrating factor in a neighborhood of the saddle allows us to determine the cyclicity of this polycycle in terms of the vanishing multiplicity of an inverse integrating factor over it. Our result also applies in the particular case in which the saddle of the homoclinic loop is linearizable, that is, the case in which a bound for the cyclicity of this graphic cannot be determined through an algebraic method.

研究の動機と目的

• 平面上の解析的系における逆積分因子とポアンカレ帰着写像の間の関係を確立すること。
• ホモクリニクスループのサイクル性を、逆積分因子の消滅多重度の観点から特定すること。
• 古典的な代数的手法が失敗する場合、特にサドル点が線形化可能な場合を分析すること。
• Poincaré帰着写像が恒等写像でない系におけるサイクル性の計算手法を提供すること。
• 逆積分因子理論の適用範囲を、極小周期軌道およびホモクリニクスループの分岐解析へ拡張すること。

提案手法

• 正則な軌道に沿って曲線座標 (s, n) に変換し、s を弧長パラメータ、n を法線距離とする。
• 軌道の近傍における流れを記述する、dn/ds = F(s,n) という常微分方程式を導出する。
• 特性法を用いて、曲線座標における逆積分因子 V を ˜V(s,n) として表現し、一階偏微分方程式を満たすことを示す。
• Poincaré写像 Π(n₀) = Ψ(L; n₀) が F(s,n) の流れによって決定されることを示し、式 (6) における偏微分方程式を介して ˜V(s,n) と関連づける。
• 極小周期軌道に応用して、周期軌道の多重度が、それに対して逆積分因子の消滅多重度に等しいことを証明する。
• ホモクリニクスループに応用して、双曲的サドル近傍における逆積分因子の局所的挙動を分析し、その消滅多重度とループのサイクル性の関係を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面上の解析的系において、逆積分因子は正則な軌道に沿ってポアンカレ帰着写像をどのように決定するか？
• RQ2 逆積分因子の消滅多重度と極小周期軌道の多重度の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 サドルが双曲的で、帰着写像が恒等写像でない場合、ホモクリニクスループのサイクル性は逆積分因子の消滅多重度によって特定可能か？
• RQ4 サドル点が線形化可能である場合、代数的手法が失敗するが、この理論はどのように適用可能か？
• RQ5 逆積分因子が多項式ではなく解析的であるが非多項式の場合、ホモクリニクスループのサイクル性は何か？そして、これと分岐現象の関係は？

主な発見

• 極小周期軌道の多重度は、その軌道上での逆積分因子の消滅多重度に等しい。
• 恒等写像でないPoincaré帰着写像を伴う双曲的サドル点におけるホモクリニクスループのサイクル性は、ループ上での逆積分因子の消滅多重度に等しい。
• 線形化可能なサドル点の場合でさえも、代数的手法が失敗するが、サイクル性は依然として逆積分因子の消滅多重度によって決定される。
• 系 (21) において、m = 1 のときホモクリニクスループのサイクル性は 2 であり、αₘ ≠ 0 ならば 2m−1、αₘ = 0 ならば 2m である。ここで m は消滅多重度である。
• ハミルトニアンで、恒等写像でない帰着写像を有する系 (22) において、逆積分因子 fⁿ の消滅多重度は定義されず、サイクル性は無限大に達する——任意に多くの極小周期軌道がループから分岐しうる。
• 特定の形をした第一積分 H(x,y) の存在は、逆積分因子が多項式であり、全域的に定義されることを裏付け、サイクル性に関する結果を支持する。