[論文レビュー] The inverse Lindley distribution: A stress-strength reliability model

Vikas Kumar Sharma, Sanjay Kumar Singh+2 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2014

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、生存データ、特に応力-強度信頼性解析に適した、重尾かつ逆バケツ型の故障率を持つ新しい逆リンドレー分布を提案する。信頼性パラメータ $ R = P(X > Y) $ について、頻度的およびベイズ的推定手法をそれぞれ開発し、シミュレーションおよび実データを用いた検証から、情報的事前分布とエントロピー損失関数を用いたベイズ推定量が、平均二乗誤差が低いため他の推定量を上回ることを示した。

ABSTRACT

In this article, we proposed an inverse Lindley distribution and studied its fundamental properties such as quantiles, mode, stochastic ordering and entropy measure. The proposed distribution is observed to be a heavy-tailed distribution and has a upside-down bathtub shape for its failure rate. Further, we proposed its applicability as a stress-strength reliability model for survival data analysis. The estimation of stress-strength parameters and $R=P[X>Y]$, the stress-strength reliability has been approached by both classical and Bayesian paradigms. Under Bayesian set-up, non-informative (Jeffrey) and informative (gamma) priors are considered under a symmetric (squared error) and a asymmetric (entropy) loss functions, and a Lindley-approximation technique is used for Bayesian computation. The proposed estimators are compared in terms of their mean squared errors through a simulation study. Two real data sets representing survival of Head and Neck cancer patients are fitted using the inverse Lindley distribution and used to estimate the stress-strength parameters and reliability.

研究の動機と目的

• 寿命データをモデリングするための、逆バケツ型の故障率を有する新しい逆リンドレー分布の提案。
• 分位数、最頻値、確率的順序、エントロピーを含む統計的性質の検討。
• 古典的およびベイズ的枠組み下での応力-強度信頼性パラメータ $ R = P(X > Y) $ の推定手順の開発。
• シミュレーションおよび実データ応用を通じて、最尤推定量とベイズ推定量の性能比較。

提案手法

• 逆リンドレー分布は、$ Y \sim \text{Lindley}(\theta) $ であるときの $ X = 1/Y $ の分布として導出され、確率密度関数は $ f(x;\theta) = \frac{\theta^2}{1+\theta} \cdot \frac{1+x}{x^3} e^{-\theta/x} $、$ x>0 $、$ \theta>0 $ である。
• 独立な逆リンドレー分布に従う確率変数 $ X $ と $ Y $ について、パラメータ $ \theta_1 $ および $ \theta_2 $ を用いた応力-強度信頼性 $ R = P(X > Y) $ は閉形式で導出可能である。
• パラメータおよび $ R $ の推定に最尤推定（MLE）を用い、フィッシャー情報行列を用いて漸近的信頼区間を構築した。
• 非情報的（ジェファリーズ）および情報的（ガンマ）事前分布の下で、リンドレーの近似を用いてベイズ推定量を計算し、二乗誤差損失関数およびエントロピー損失関数を用いた。
• シミュレーションスタディを通じて、さまざまな標本サイズおよびパラメータ値における最尤推定量とベイズ推定量の平均二乗誤差（MSE）を比較した。
• 2つの実生存データセット（頭頸部がん）を用いてモデルの妥当性を検証し、$ R $ の推定を行った。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆リンドレー分布は、逆バケツ型の故障率を有する寿命データを効果的にモデリングできるか？
• RQ2 異なる事前分布および損失関数の下で、$ R = P(X > Y) $ の最尤推定量とベイズ推定量の平均二乗誤差はどのように比較できるか？
• RQ3 情報的事前分布とエントロピー損失関数を用いることで、非情報的事前分布と二乗誤差損失関数を用いた場合に比べ、推定精度が向上するか？
• RQ4 頭頸部がんの生存データのような実生存データに対して、既存のモデルと比較して逆リンドレー分布はより良いフィットを示すか？

主な発見

• 逆リンドレー分布は逆バケツ型のハザードレートを示し、非単調な故障強度を有する故障データのモデリングに適している。
• 応力-強度信頼性 $ R = P(X > Y) $ は、逆リンドレー分布の累積分布関数を用いて閉形式で導出可能であり、正確な計算が可能である。
• ガンマ事前分布とエントロピー損失関数を用いたベイズ推定量は、ジェファリーズ事前分布と二乗誤差損失関数を用いた推定量よりも平均二乗誤差が低かった。
• シミュレーション結果から、情報的事前分布を用いたベイズ推定量は、最尤推定量および非情報的ベイズ推定量の両方を平均二乗誤差の観点で上回ることが示された。
• 本モデルは、頭頸部がん患者を含む2つの実生存データセットに対しても良好なフィットを示し、医療および工学分野における信頼性分析への実用的応用可能性を裏付けた。