[論文レビュー] The inverse problem for Hamilton-Jacobi equations and semiconcave envelopes

Carlos Esteve, Enrique Zuazua|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 17被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアン・ジャコビ方程式の逆問題に取り組み、最終時刻 T で与えられたターゲット関数を生成するすべての初期条件を特徴づける。後向きの可視化解と擬凸包を用いて、微分不等式を介した必要十分な到達可能性条件を確立し、任意のターゲット関数を到達可能関数の集合へ射影する操作を、完全非線形障害問題の解として同定する。これは、凹包の概念を一般化するものである。

ABSTRACT

We study the inverse problem, or inverse design problem, for a time-evolution Hamilton-Jacobi equation. More precisely, given a target function $u_T$ and a time horizon $T>0$, we aim to construct all the initial conditions for which the viscosity solution coincides with $u_T$ at time $T$. As it is common in this kind of nonlinear equations, the target might not be reachable. We first study the existence of at least one initial condition leading the system to the given target. The natural candidate, which indeed allows determining the reachability of $u_T$, is the one obtained by reversing the direction of time in the equation, considering $u_T$ as terminal condition. In this case, we use the notion of backward viscosity solution, that provides existence and uniqueness for the terminal-value problem. We also give an equivalent reachability condition based on a differential inequality, that relates the reachability of the target with its semiconcavity properties. Then, for the case when $u_T$ is reachable, we construct the set of all initial conditions for which the solution coincides with $u_T$ at time $T$. Note that in general, such initial conditions are not unique. Finally, for the case when the target $u_T$ is not necessarily reachable, we study the projection of $u_T$ on the set of reachable targets, obtained by solving the problem backward and then forward in time. This projection is then identified with the solution of a fully nonlinear obstacle problem, and can be interpreted as the semiconcave envelope of $u_T$, i.e. the smallest reachable target bounded from below by $u_T$.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン・ジャコビ方程式の可視化解を用いて、時刻 T で与えられたターゲット関数 u_T を生成するすべての初期条件を特定すること。
• u_T の擬凸性の性質に基づいて、u_T の到達可能性の必要十分条件を確立すること。
• u_T に進化するすべての初期条件の集合を構成し、その中で最小のものを同定すること。
• 任意のリプシッツ連続ターゲット関数を到達可能関数の集合へ射影する方法を特徴づけ、それが完全非線形障害問題の解であることを示すこと。
• ハミルトニアン・ジャコビ力学的系の文脈において、凹包の概念を擬凸包へ一般化すること。

提案手法

• 与えられた終端ターゲット u_T に対して、後向き可視化解を用いて時空逆転を実行し、候補となる初期条件を特定する。
• 微分不等式 (7.1) を到達可能性の基準として用い、u_T の擬凸性と関連付ける。
• 最小の初期条件を u_0 = S_T^− u_T として構成する。ここで S_T^− は後向き進化作用素を表す。
• すべての許容可能な初期条件が一致する点の集合 X_T(u_T) を、u_T の幾何的性質を用いて同定する。
• u_T を到達可能集合へ射影する操作を S_T^+ ∘ S_T^− u_T として定義し、これが完全非線形障害問題の解であることを示す。
• この射影が u_T 以上で最小の到達可能関数であることを証明し、それが u_T の擬凸包であると同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時刻 T において、ハミルトニアン・ジャコビ方程式の可視化解として到達可能なターゲット関数 u_T が満たすべき条件は何か？
• RQ2 ハミルトニアン・ジャコビフロー下で、与えられたターゲット u_T に進化するすべての初期条件をどのように構成できるか？
• RQ3 同じ終端状態 u_T に至るすべての初期条件の集合が持つ幾何学的・解析的構造は何か？
• RQ4 非到達可能なターゲット u_T を到達可能関数の集合へ射影する方法は何か？ その射影を特徴付ける方程式は何か？
• RQ5 後向き・前向き進化による u_T の射影が、完全非線形障害問題の解と等価であるか？ もしそうであれば、その方程式の形は何か？

主な発見

• ターゲット関数 u_T が到達可能であるための必要十分条件は、ハミルトニアンのヘッセ行列と関連する擬凸性を符号化する微分不等式 (7.1) を満たすことである。
• u_T に進化する最小の初期条件は、終端データ u_T からの後向き可視化解 S_T^− u_T で与えられる。
• u_T に至るすべての初期条件の集合は、集合 X_T(u_T) におけるそれらの一致によって特徴づけられ、u_T の微分可能性点を事前に知らなくても幾何学的に同定可能である。
• 合成 S_T^+ ∘ S_T^− u_T は、u_T を到達可能関数集合へ射影する操作をもたらし、これは u_T 以上で最小の到達可能関数である。
• 二次ハミルトニアンおよび1次元の場合、この射影は完全非線形障害問題 (7.2) を満たし、u_T の擬凸包として同定される。
• 擬凸包は凹包の一般化であり、ハミルトニアン・ジャコビ逆問題の文脈において、非線形障害問題の解として自然に生じるものである。