[論文レビュー] The inverse problem for the local geodesic ray transform

Günther Uhlmann, András Vasy|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 8被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、次元 ≥3 のリーマン多様体上における測地線X線変換の局所的可逆性と安定性を、境界付近での局所的凸性条件のもとで確立する。微局所解析とネウマン級数再構成法を用いて、指数関数的重み付きノルムにおける単射性と安定性評価を証明し、厳密に凸な超曲面による大域的ファイブレーションのもとで大域的単射性に拡張する。

ABSTRACT

Under a convexity assumption on the boundary we solve a local inverse problem, namely we show that the geodesic X-ray transform can be inverted locally in a stable manner; one even has a reconstruction formula. We also show that under an assumption on the existence of a global foliation by strictly convex hypersurfaces the geodesic X-ray transform is globally injective. In addition we prove stability estimates and propose a layer stripping type algorithm for reconstruction.

研究の動機と目的

• Riemann多様体の次元 ≥3 における厳密に凸な領域における測地線X線変換の局所的逆問題を解く。
• 境界点の近傍で局所的凸性のもとで、変換の安定的単射性を確立する。
• 逆変換の再構成公式をネウマン級数を用いて提供する。
• 厳密に凸な超曲面による大域的ファイブレーションのもとで、局所的結果を大域的単射性に拡張する。
• 小さな計量摂動および領域のコンパクト部分集合に対して一様な安定性評価を導出する。

提案手法

• 定義関数 ρ を用い、d˜x(p) = −dρ(p) を満たす滑らかな関数 ˜x を構成し、局所的近傍 O_p = {˜x > −c} ∩ X を定義する。
• 散乱微局所計算の枠組みにおいて微局所解析を適用し、指数関数的重み e^{γ/(˜x + c)} を持つ重み付きソボレフ空間 H^s_γ を導入する。
• コンパクト台付き滑らかな関数（ガウス関数に近いもの）のフーリエ変換を用いて、変換された作用素 A = x^{-1}e^{-γ/x}Ae^{γ/x} の境界主記号の強退化性を確立する。
• 作用素 A に対してネウマン級数を用いた近似作用素（パラメトリクス）を構成し、有限次元核の補集合上で有界性と可逆性を証明する。
• I をX線変換、L を擬微分作用素として A = L ∘ I と分解し、A の安定性と I の安定性との関係を確立する。
• 重み付きソボレフ空間と通常のソボレフ空間との包含写像を用いて、最終的な安定性評価を指数関数的重み付き H^s ノルムで導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界点の近傍における局所的凸性仮定のもとで、測地線X線変換は安定に局所的に逆転可能か？
• RQ2 リーマン計量の小さな摂動に対しても、変換は単射的かつ安定的か？
• RQ3 厳密に凸な超曲面による大域的ファイブレーションのもとで、局所的可逆性から大域的単射性を導出できるか？
• RQ4 ネウマン級数のような構成的再構成法が、逆問題に対して存在するか？
• RQ5 安定性評価における最適な正則性および重み構造は何か？

主な発見

• 各 p ∈ ∂X に対して、O_p = {˜x > −c} ∩ X という近傍が存在し、任意の s ≥ 0 に対して H^s(O_p) 上で局所的測地線X線変換は単射的である。
• 安定性評価が成立する：||f||_{H^{s-1}_γ(O_p)} ≤ C||If|_{M_{O_p}}||_{H^s(M_{O_p})} であり、C は c が十分小さく、計量摂動が小さい場合に一様である。
• 安定性評価は、任意の γ > 0 に対して、H^s_γ(O_p) = {f ∈ H^s_loc(O_p) : e^{-γ/(˜x + c)}f ∈ H^s(O_p)} という指数関数的重み付きソボレフ空間で有効である。
• ネウマン級数による再構成公式が構成され、If から f を安定的かつ明示的に回復する方法が得られる。
• 大域的ファイブレーションが厳密に凸な超曲面によってなされる場合、補集合の測度がゼロであれば L^2(X) 上で大域的X線変換は単射的であり、補集合の内部が空であれば s > n/2 の H^s(X) 上でも単射的である。
• 安定性定数は c および ρ₀ に対して一様であり、|c| および |ρ₀| が小さい場合に一様に成り立ち、結果は小さな計量摂動へと拡張可能である。