[論文レビュー] The inverse problem of differential Galois theory over the field R(z)

Tobias Dyckerhoff|ArXiv.org|Feb 20, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、ℝ 上の任意の線型代数的群が、ℝ(z) 上の正則的特異微分方程式の微分ガロア群として現れることを確立している。非代数閉体上でのピカード・ベッシオ理論とガロア降下を用い、ℂ(z) 上のリーマン＝ヒルベルト対応および複素共役対称性を活用して、ℂ(z) 上の解をℝ(z) へ降下させることで、ℝ(z) 上での逆問題が肯定的に解かれることが証明された。

ABSTRACT

We describe a Picard-Vessiot theory for differential fields with non algebraically closed fields of constants. As a technique for constructing and classifying Picard-Vessiot extensions, we develop a Galois descent theory. We utilize this theory to prove that every linear algebraic group $G$ over $\mathbb{R}$ occurs as a differential Galois group over $\mathbb{R}(z)$. The main ingredient of the proof is the Riemann-Hilbert correspondence for regular singular differential equations over $\mathbb{C}(z)$.

研究の動機と目的

• 微分定数体が代数閉でない ℝ(z) 上での微分ガロア理論の逆問題を解くこと。
• 微分体の定数体が代数閉でない場合にも適用可能なピカード・ベッシオ理論を拡張し、拡張の存在と分類を保証すること。
• このような体上でのピカード・ベッシオ拡張のためのガロア降下理論を構築し、構成と分類を可能にする。
• 複素共役とモノドロミー表現との間の関係を確立し、ℝ(z) への降下を保証すること。
• ℝ 上の任意の線型代数的群が、ℝ(z) 上の微分ガロア群として現れることを証明し、ℂ(z) 上の古典的結果を一般化すること。

提案手法

• 定数体が代数閉でない微分体に対してピカード・ベッシオ理論を構築し、やや弱い代数的条件のもとで拡張の存在を証明する。
• F と F⊗KL 間の、適切な Γ-作用を備えたピカード・ベッシオ拡張の間の同値関係を確立するガロア降下形式的枠組みを構築する。
• ℂ(z) 上のリーマン＝ヒルベルト対応を用いて、正則的特異微分方程式とモノドロミー表現を対応付ける。
• 適切な特異点および生成子を選択することで、与えられたモノドロミー表現が複素共役作用に関して不変となるように保証する。
• 鍵となる降下補題を適用する：ℂ(z) 上のピカード・ベッシオ拡張が複素共役作用に関して不変ならば、ℝ(z) 上のものに降下する。
• 複素ガロア群上の共役作用の固定点として実微分ガロア群を構成し、ザリスキ位相における稠密性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ 上の任意の線型代数的群は、ℝ(z) 上のピカード・ベッシオ拡張の微分ガロア群として実現可能か？
• RQ2 微分体 ℝ(z) のように定数体が代数閉でない場合に、ピカード・ベッシオ理論をどのように拡張できるか？
• RQ3 ℂ(z) 上のピカード・ベッシオ拡張が ℝ(z) 上に降下するための条件は何か？
• RQ4 複素共役は、正則的特異微分方程式のモノドロミー表現とどのように作用するか？
• RQ5 リーマン＝ヒルベルト対応を用いて、ℂ(z) からの降下によって ℝ(z) 上の微分ガロア群を構成できるか？

主な発見

• ℝ 上の任意の線型代数的群 G は、ℝ(z) 上のピカード・ベッシオ拡張の微分ガロア群として現れ、この体上での逆問題が解決された。
• 係数がノエター的で、整域的かつ ∂-環として有限次元で、正則な K-有理点を持つ微分方程式に対して、ℝ(z) 上でのピカード・ベッシオ拡張の存在が保証される。
• L/K-形のピカード・ベッシオ拡張の分類は、第一ガロアコホモロジー集合 H¹(Γ, G(L)) で与えられる。ここで Γ = Gal(L/K) である。
• ℂ(z) 上のピカード・ベッシオ拡張が ℝ(z) 上に降下するための必要十分条件は、対応する微分方程式が自身の複素共役と同値であることである。
• ℂ(z) 上の正則的特異微分方程式のモノドロミー表現は、ザリスキ閉包まで微分ガロア群を決定し、この群は共役作用のもとで不変である。
• ℝ(z) 上の降下拡張の微分ガロア群は、元の実代数的群 G に同型であり、G(ℂ) 上の共役作用が G を定義するガロア作用と一致する。