[論文レビュー] The inverse problem of the Schrödinger equation in the plane; A dissection of Bukhgeim's result

Emilia Blåsten|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2011

Numerical methods in inverse problems参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、平面上のシュレーディンガー方程式における逆境界値問題に関して、Bukhgeimが2007年に達成した画期的な結果を解体し、境界データからのポテンシャルの一意性を証明する。正規直交関係を用い、$\bar{\partial}$-法を用いて振動する複素幾何光学解を構成し、停留化法を適用してポテンシャルを抽出する。元の証明にわずかなギャップが存在するが、$L^p$ ポテンシャルに対しても結果を拡張する。

ABSTRACT

The purpose of this licentiate thesis is to present Bukhgeim's result of 2007, which solves the inverse boundary value problem of the Schrödinger equation in the plane. The thesis is mainly based on Bukhgeim's paper and Kari Astala's seminar talk, which he gave the 11th and 18th September of 2008 at the University of Helsinki. Section 3 is devoted to the history and past results concerning some related problems: notably the inverse problem of the Schrödinger and conductivity equations in different settings. We also describe why some of the past methods do not work in the general case in a plane domain. Section 4 outlines Bukhgeim's result and sketches out the proof. This proof is a streamlined version of the one in Bukhgeim's paper with the stationary phase method based on Kari Astala's presentation. In the following section we prove all the needed lemmas which are combined in section 6 to prove the solvability of the inverse problem. The idea of the proof is simple. Given two Schrödinger equations with the same boundary data we get an orthogonality relation for the solutions of the two equations. Then we show the existence of certain oscillating solutions and insert these into the orthogonality relation. Then by a stationary phase argument we see that the two Schrödinger equations are the same. In the last section we contemplate an unclear detail in Bukhgeim's paper which Kari Astala pointed out in his seminar talk: without an extra argument Bukhgeim's proof shows the solvability of the inverse problem only for differentiable potentials instead of ones in L^p. But the special oscillating solutions exist even for L^p potentials.

研究の動機と目的

• 平面上のシュレーディンガー方程式におけるポテンシャルの一意性が境界測定から得られることを明確にし、Bukhgeimの2007年の結果を再導出すること。
• Bukhgeimの元の証明におけるわずかなギャップを解消し、$C^1$ ポテンシャルに限らず $L^p$ ポテンシャルに対しても振動解が存在することを示すこと。
• Kari Astalaのセミナー発表に基づき、停留化法を用いた洗練された証明を提示し、詳細な補題と技術的道具を用いて議論を分かりやすくすること。
• $L^p$ ポテンシャルに対する逆問題の可解性を確立し、この正則性クラスにおける適切な複素幾何光学解の存在を証明すること。

提案手法

• 同じDirichlet-to-Neumann写像を持つ2つのシュレーディンガー方程式から導かれる正規直交関係に基づく証明の出発点。
• $\zeta \in \mathbb{C}$ に対する形 $e^{z\zeta} \phi(z,\zeta)$ の振動解を、$\bar{\partial}$-方程式およびBeurling変換の性質を用いて構成する。
• 境界上での積分に停留化法を適用し、解の振動的性質を活用してポテンシャル差に関する情報を抽出する。
• Sobolev埋め込み定理およびトレース定理を用いて、Lipschitz領域上での部分積分およびトレース作用素の正当性を保証する。
• 重要な技術的ステップとして、$L^p$ ポテンシャルをコンパクトな台を持つ滑らかな関数で近似し、$1/(z - z_0)$ を含む特異積分の有界性を保存すること。
• Minkowskiの積分不等式および特異積分の $L^p$-有界性を用いて、解およびその微分の成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面上のシュレーディンガー方程式に対する逆問題は、$L^p$ ポテンシャルを用いた境界測定から一意に解けるか？
• RQ2 古典的手法が平面の場合になぜ失敗するのか、そして新たな道具は何か？
• RQ3 どのようにして $L^p$ ポテンシャルに対して振動解を構成できるのか、そしてなぜそれが停留化法の議論において不可欠なのか？
• RQ4 $\bar{\partial}$-計算は解の構成および一意性の証明において果たす役割は何か？
• RQ5 Bukhgeimの元の証明は $L^p$ ポテンシャルに対しても有効か、それとも追加の議論が必要か？

主な発見

• 領域 $\Omega$ における $L^p(\Omega)$ ポテンシャル（$p > 2$）に対して、Dirichlet-to-Neumann写像を用いた平面上のシュレーディンガー方程式の逆問題は一意に解ける。
• 同じ境界データを持つ2つのシュレーディンガー方程式は、ポテンシャルが $L^p(\Omega)$ に属する場合でも同一であることが証明された。
• 振動的挙動を指定した複素幾何光学解が $L^p$ ポテンシャルに対しても存在することが証明され、これは停留化法の議論において不可欠である。
• 停留化法により、これらの解を含む振動的積分の漸近的挙動を分析することで、ポテンシャル差が成功裏に抽出された。
• Bukhgeimの元の証明には $C^1$ ポテンシャルに限定されたギャップが存在するが、本研究ではそのギャップを、必要な振動解が $L^p$ 環境でも存在し、一様有界であることを示すことによって埋めた。
• Beurling変換および特異積分の $L^p$ 空間上での有界性に依拠することで、構成された解の存在性および正則性が保証された。