[論文レビュー] The inviscid limit to a contact discontinuity for the compressible Navier-Stokes-Fourier system using the relative entropy method

Alexis Vasseur, Yi Wang|arXiv (Cornell University)|May 28, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、相対エントロピー法を用いて、圧縮性ナビエ＝ストークス＝フォーリエ系に対する接触不連続解への無粘性極限を確立し、不連続性や初期データに小刻みの仮定を課さずに、熱伝導度 $\kappa \to 0$ の際に $\kappa^{1/2}$ の収束速度を証明する。この結果は、この領域において熱伝導度が散逸を支配することを示しており、系において不連続解への相対エントロピーに基づく収束を初めて示した。

ABSTRACT

We consider the zero heat conductivity limit to a contact discontinuity for the mono-dimensional full compressible Navier-Stokes-Fourier system. The method is based on the relative entropy method, and do not assume any smallness conditions on the discontinuity, nor on the $BV$ norm of the initial data. It is proved that for any viscosity $ν\geq0$, the solution of the compressible Navier-Stokes-Fourier system (with well prepared initial value) converges, when the heat conductivity $κ$ tends to zero, to the contact discontinuity solution to the corresponding Euler system. We obtain the decay rate $κ^{\frac12}$. It implies that the heat conductivity dominates the dissipation in the regime of the limit to a contact discontinuity. This is the first result, based on the relative entropy, of an asymptotic limit to a discontinuous solutions for a system.

研究の動機と目的

• 圧縮性ナビエ＝ストークス＝フォーリエ系における接触不連続解へのゼロ熱伝導度極限を確立すること。
• 任意の波の強さおよび初期データの正則性に対して、$\kappa \to 0$ の際の解の漸近的挙動を分析すること。
• 相対エントロピー法を、双曲型系における不連続解への収束に拡張すること。
• 接触不連続解への極限において、熱伝導度が散逸を支配することを示すこと。

提案手法

• ナビエ＝ストークス＝フォーリエ系の解と、オイラー系の接触不連続解との間の相対エントロピー法を用いる。
• 粘性解と不連続極限状態との距離を測る相対エントロピー関数を構築する。
• 幅 $\varepsilon$ の不連続性層付近での解析を局所化するために、重み付き試験関数 $\eta(x/\varepsilon)$ を用いる。
• 状態方程式を用いて境界項と体積項を制御した後、Gronwallの不等式を適用して得られるエネルギー推定値に適用する。
• 特異項を制御するため、熱力学的仮定 $p = p_e(\tau) + \vartheta p_\vartheta(\tau)$, $e = P_e(\tau) + Q(\vartheta)$ を用い、$p_e' \leq 0$, $p_\vartheta' \leq 0$, および $C_v > 0$ を満たす。
• $\varepsilon = \sqrt{\kappa}$ および初期相対エントロピー $\mathcal{E}(0) = O(\sqrt{\kappa})$ を設定することで、$\kappa^{1/2}$ の減衰率を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない不連続解への収束を証明するにあたり、相対エントロピー法が適用可能であるか。
• RQ2 不連続性に小刻みの仮定を課さない場合、$\kappa \to 0$ の際の相対エントロピーの最適減衰率は何か。
• RQ3 接触不連続解への極限において、熱伝導度による散逸と粘性による散逸はどのように比較されるか。
• RQ4 接触不連続解が特殊な非一様な擬距離の下で収縮性を示す場合、シフトや小刻みの仮定なしに収束が可能か。
• RQ5 この方法は、接触不連続解領域における大きな初期データおよび任意の波の強さを扱えるか。

主な発見

• 任意の $\nu \geq 0$ に対して、圧縮性ナビエ＝ストークス＝フォーリエ系の解は、$\kappa \to 0$ の際にオイラー系の接触不連続解に収束する。小刻みの仮定なしに成立する。
• 収束速度は $\kappa^{1/2}$ であり、$\varepsilon = \sqrt{\kappa}$ および $\mathcal{E}(0) = O(\sqrt{\kappa})$ を設定することで達成される。
• 極限において熱伝導度が散逸を支配しており、$\kappa^{1/2}$ の減衰率は $\nu$ の任意のべきよりも遅いため、$\kappa$ が主な散乱機構であることが示唆される。
• 相対エントロピー法は不連続極限を効果的に扱うことができ、滑らかでない解への適用範囲を拡張した。
• 特異項を制御するため、$p_e' \leq 0$, $p_\vartheta' \leq 0$, および $P_e(\tau) \sim \tau^{-(\gamma-1)}$, $\gamma \geq 2$ を満たす熱力学的状態方程式 $p_e(\tau)$ と $p_\vartheta(\tau)$ に依存している。
• 接触不連続解が特殊な非一様な擬距離の下で収縮性を示す性質が、シフトなしで証明を可能にするという、重要な構造的利点を有する。