[論文レビュー] The irregularity of cyclic multiple planes after Zariski

Daniel Naie|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、倍加平面の分岐曲線に任意の特異点を許容するように、Zariskiの巡回多重平面の不正則性に関する定理を一般化する。不正則性は、乗数イデアルに付随する線型系統の過剰性の和として表現される。この手法は標準的巡回被覆とジャンピング数に依拠し、分岐曲線の乗数イデアルによって定義されるイデアル層のコホモロジーを通じて不正則性を計算する公式を導く。

ABSTRACT

A formula for the irregularity of a cyclic multiple plane associated to a branch curve that has arbitrary singularities and is transverse to the line at infinity is established. The irregularity is expressed as a sum of superabundances of linear systems associated to some multiplier ideals of the branch curve and the proof rests on the theory of standard cyclic coverings. Explicit computations of multiplier ideals are performed and some applications are presented.

研究の動機と目的

• 巡回多重平面のZariskiの不正則性公式を、任意の特異点をもつ分岐曲線へ拡張すること。
• 乗数イデアルとジャンピング数を用いて、$ n $-巡回多重平面の不正則性に関する一般公式を確立すること。
• 無限遠直線の分岐曲線に対する相対的位置が不正則性に与える影響を示すこと。
• 特異点が$ x^p = y^q $である曲線の乗数イデアルを明示的に計算し、具体例に応用すること。

提案手法

• 論文は、標準的巡回被覆の理論を用いて、$ n $-巡回多重平面の特異点解消後の不正則性を、分岐曲線のコホモロジカル不変量と関連付ける。
• ジャンピング数$ \xi \in J(B,n) $の和として不正則性を表す公式を導入する。ここで$ J(B,n) \subset \frac{1}{\gcd(b,n)}\mathbb{Z} $である。
• 各ジャンピング数$ \xi $に対して、不正則性への寄与は$ h^1(\mathbb{P}^2, \mathcal{I}_{Z(\xi B)}(-3 + \xi b)) $で与えられ、$ Z(\xi B) $は乗数イデアル$ \mathcal{J}(\xi B) $によって定義される。
• この手法は、乗数イデアルとその関連するジャンピング数を用いて、線型系統の過剰性を計算する。
• 特異点$ x^p = y^q $に関する既知の結果を応用し、明示的な具体例を計算する。
• 線分の配置や$ A_5 $特異点・カスプ特異点をもつ曲線の具体例を通じて、手法の妥当性を検証する。無限遠直線$ H_\infty $が特別な位置にあると、不正則性が跳躍することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回多重平面のZariskiの不正則性公式を、任意の特異点をもつ分岐曲線へどのように一般化できるか？
• RQ2 乗数イデアルとジャンピング数は、巡回多重平面の不正則性を計算する際に果たす役割は何か？
• RQ3 無限遠直線の位置が$ n $-巡回多重平面の不正則性に与える影響は何か？
• RQ4 特異点が$ x^p = y^q $である曲線に対して、不正則性の明示的公式を導出できるか？
• RQ5 分岐曲線の幾何構造と無限遠直線の位置が、巡回多重平面の不正則性を跳躍させる条件は何か？

主な発見

• $ n $-巡回多重平面の不正則性は、$ q(S) = \sum_{\xi \in J(B,n)} h^1(\mathbb{P}^2, \mathcal{I}_{Z(\xi B)}(-3 + \xi b)) $で与えられる。ここで$ J(B,n) $は$ \frac{1}{\gcd(b,n)}\mathbb{Z} $内の部分単位ジャンピング数の集合である。
• $ A_5 $特異点をもつ6次曲線に対して、分岐曲線が既約であるとき$ 6 $-巡回多重平面の不正則性は1であり、カスプが2つずつ重なった場合には不正則性は2に増加する。
• 9本の直線と9個の三重点をもつ直線配置では、$ 3 \mid n $のとき、三重点を通る立方体線型系統の過剰性により不正則性は1に増加する。
• 5本の直線と2つの三重点をもつ配置では、$ H_\infty $が横断的であるとき不正則性は0であるが、$ H_\infty $が2つの三重点を通る場合には不正則性は1に跳躍する。
• 不正則性は、配置における任意の直線に含まれる三重点の数の最小値によって上限づけられる：$ q(S) \leq \min_i t_i $、ここで$ t_i $は直線$ L_i $上に存在する三重点の数である。
• 不正則性は$ H_\infty $の位置に依存する。例えば5本の直線配置では、$ H_\infty $を2つの三重点を通るように移動させると、不正則性は0から1に増加する。