[論文レビュー] The Ising model on a cylinder: universal finite size corrections and diagonalized action

Rafael L. Greenblatt|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2014

Theoretical and Computational Physics参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、2次元イジング模型の円筒格子上での自由エネルギーに対する普遍的な有限サイズ補正を、ブロック対角化された作用行列の行列式を用いた正確な解法によって導出する。作用行列をフーリエ変換で対角化し、固有値を特徴方程式により解くことで、分配関数の対数の明示的表現が得られ、 conformal field theory（CFT）の予測が、$ \kappa(M/N)$に比例する普遍的補正項を伴って確認される。ここで$ \kappa$はヤコビのシータ関数で表され、$N \gg M$の極限では$ \pi/24 \cdot N/M$に一致する。

ABSTRACT

Finite size corrections to the pressure (free energy) of the Ising model on a 2 dimensional cylinder are calculated and shown to be consistent with the predictions of conformal field theory. The exact solution of the model is expressed in terms of the determinant of a block-diagonal matrix.

研究の動機と目的

• 横方向に周期的境界条件を課した円筒幾何学における2次元イジング模型の自由エネルギーに対する正確な有限サイズ補正を導出すること。
• 作用行列の対角化により分配関数を完全に解析的に取り扱い、非自明な境界条件における conformal field theory（CFT）の予測を検証することに不可欠である。
• 他のトポロジー（例：メビウスの帯やクラインのボラ）では既に解が知られているにもかかわらず、円筒上でのイジング模型に対する正確な有限サイズ補正が文献に欠けている問題を解決すること。
• 分配関数の対数における普遍的補正項$\kappa(M/N)$が、$N \gg M$の極限においてCFTの予測$\pi/24 \cdot N/M$と一致することを確立すること。

提案手法

• 分配関数は$Z = \frac{1}{2} (2\cosh\beta J)^{MN} \sqrt{|S|}$として表され、ここで$S$は作用を表す大きな反対称行列であり、最近接スピン間の結合項と$y$方向における周期的境界条件によって定義される。
• $y$方向におけるフーリエ変換により、作用行列は$N$個の$4M \times 4M$サイズのブロックに分解され、さらに三重対角行列の固有値に基づく変換によって2つの$2M \times 2M$ブロックに分解される。
• 得られた行列の固有値は特徴方程式（式23）を解くことで特定され、特に$k=0$および$k=2\pi$近辺の性質が解析され、漸近的挙動を支配する。
• 分配関数の対数はEuler-Maclaurin公式と$k$-モードに関する漸近的解析を用いて展開され、主な寄与は$\prod_k (1 + z_+(k)^{-2M})$の項から生じる。
• この積は恒等式$\prod_{r=0}^\infty (1 + e^{-(2r-1)\pi \zeta})^2 = \theta_3(e^{-2\pi\zeta}) / \theta_0(e^{-2\pi\zeta})$を用いてヤコビのシータ関数で表現される。ここで$\zeta = M/N$である。
• 最終的な普遍的補正項の式は$\kappa(\zeta) = \frac{1}{6} \log\left( \frac{\theta_3^2(e^{-2\pi\zeta})}{2\theta_2(e^{-2\pi\zeta})\theta_4(e^{-2\pi\zeta})} \right)$として得られ、漸近的検証によりCFTの期待と一致することが確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元イジング模型の円筒上での正確な解が、CFTの予測と一致する普遍的な有限サイズ補正項を自由エネルギーに与えるか？
• RQ2 円筒上でのイジング模型の作用行列を完全に対角化することで、分配関数の正確な計算とその対数展開が可能になるか？
• RQ3 円筒上でのイジング模型における普遍的補正項$\kappa(M/N)$の明示的関数形は何か？他の境界条件（例：メビウスの帯やクラインのボラ）の既知の結果と比較するとどうなるか？
• RQ4 $\zeta \to 0$および$\zeta \to \infty$における$\kappa(\zeta)$の漸近的挙動が、CFTの予測$\pi/24 \cdot N/M$および$\pi/6 \cdot N/M$と一致するか？

主な発見

• 2次元イジング模型の分配関数は、ブロック対角化された作用行列の行列式を用いて導出され、フーリエ変換と特徴方程式の解法により対角化が達成された。
• 分配関数の対数における普遍的有限サイズ補正項は$\kappa(\zeta) = \frac{1}{6} \log\left( \frac{\theta_3^2(e^{-2\pi\zeta})}{2\theta_2(e^{-2\pi\zeta})\theta_4(e^{-2\pi\zeta})} \right)$として得られ、ここで$\zeta = M/N$である。
• $N \gg M$（$\zeta \to 0$）の極限において、補正項は$\frac{\pi}{48} \zeta^{-1}$に漸近的に近づき、これは開境界条件のCFT予測$\frac{\pi}{24} \cdot \frac{N}{M}$と一致する。
• $M \gg N$（$\zeta \to \infty$）の極限において、補正項は$\frac{\pi}{12} \zeta = \frac{\pi}{12} \cdot \frac{M}{N}$のようになるが、これは周期的境界条件のCFT予測$\frac{\pi}{6} \cdot \frac{N}{M}$と整合する。
• この導出により、メビウスの帯やクラインのボラなど他のトポロジーとは異なり、円筒上でもCFTが予測する普遍的な有限サイズ補正が成立することが確認された。