[論文レビュー] The Isomorphism Problem On Classes of Automatic Structures

Dietrich Kuske, Jiamou Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2010

semigroups and automata theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、自動構造の同型問題について未解決であった問題を解決し、自動同値関係の同型問題が Π⁰₁-complete であることを証明している。高さ n ≥ 2 の自動木については Π⁰₂ₙ₋₃-complete であり、自動線形順序については算術階層の各レベルでハードである。これらの結果は、ヒルベルトの10番目の問題とディオファントス符号化からの還元によって得られ、線形順序の場合は算術階層をはるかに超える本質的複雑性が示された。

ABSTRACT

Automatic structures are finitely presented structures where the universe and all relations can be recognized by finite automata. It is known that the isomorphism problem for automatic structures is complete for $Σ^1_1$; the first existential level of the analytical hierarchy. Several new results on isomorphism problems for automatic structures are shown in this paper: (i) The isomorphism problem for automatic equivalence relations is complete for $Π^0_1$ (first universal level of the arithmetical hierarchy). (ii) The isomorphism problem for automatic trees of height $n \geq 2$ is $Π^0_{2n-3}$-complete. (iii) The isomorphism problem for automatic linear orders is not arithmetical. This solves some open questions of Khoussainov, Rubin, and Stephan.

研究の動機と目的

• 自動構造の基本的クラスである自動同値関係の同型問題の正確な複雑性を特定すること。
• 高さが有限な n ≥ 2 である自動木の同型問題の正確な複雑性を確立すること。これにより、既存の自動構造に関する結果を拡張する。
• 自動線形順序の同型問題の複雑性に関する未解決問題を解決すること。これは、非常に非決定的であると予想されていた。
• 従来のオートマトン理論的還元の制限を克服するため、ディオファントス符号化とヒルベルトの10番目の問題に基づく新しい証明技法を開発すること。
• 同型である自動構造間の同型写像が、算術階層の低レベルで定義可能でない可能性があることを示すこと。

提案手法

• マティアセビッチの定理を用い、有理関数級数とその値域の性質を介して、再帰的可算集合を自動構造に符号化する。
• 同型問題が有理関数級数の値域問題の補集合に還元可能な自動同値関係を構成し、これは既に Π⁰₁-complete であることが知られている。
• 木構造をネストされたディオファントス制約としてモデル化し、再帰的深さ符号化を用いることで、ディオファントス符号化技法を高さが有限な自動木へと拡張する。
• 全階層論理 (ℕ; +, ×) から自動線形順序の同型問題への一様還元を適用し、算術階層の各レベルでハードであることを示す。
• 同型写像が任意の固定された k に対して Σ⁰ₖ-定義可能でない可能性があることを示すために、その存在が Σ⁰ₖ₊₂-complete であることを証明する。
• 線形順序の FC-ランクを 1 に保ちながら自動性を維持する変換を用い、低複雑性の自動線形順序でも一般の同型問題の全複雑性を引き継ぐことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自動同値関係の同型問題は決定可能か？ もし非決定的であれば、正確な複雑性は何か？
• RQ2 高さが有限な n ≥ 2 である自動木の同型問題の正確な複雑性は何か？
• RQ3 自動線形順序の同型問題は決定可能か、それとも算術階層を超えるか？
• RQ4 自動構造の同型問題は、ヒルベルトの10番目の問題のような既知の非決定的問題に還元可能か？
• RQ5 算術階層の低レベルで定義可能な同型写像を持たない同型な自動構造は存在するか？

主な発見

• 自動同値関係の同型問題は Π⁰₁-complete であり、これは Khoussainov, Rubin, および Stephan が提起した未解決問題を解決する。
• 高さ n ≥ 2 の自動木については、同型問題が Π⁰₂ₙ₋₃-complete である。n = 2 の基本ケースは Π⁰₁-complete に対応する。
• 自動線形順序の同型問題は算術階層のすべてのレベルでハードであり、これは (ℕ; +, ×) の全階層論理と同程度に難しいことを示唆する。
• 自動線形順序の同型問題は算術的ではなく、算術の理論と再帰的に同値である。
• 任意の k ∈ ℕ に対して、Σ⁰ₖ-同型写像を持たない同型な有限高さの自動木および線形順序が存在し、同型写像が高レベルの定義可能性複雑性を要することが示された。
• 高さが n 以下の再帰的木の同型問題は Π⁰₂ₙ-complete である。これは、この文脈において再帰的構造と自動構造の間に密接な関係があることを示している。