[論文レビュー] The isotropic position and the reverse Santaló inequality

Apostolos Giannopoulos, Grigoris Paouris+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2011

Point processes and geometric inequalities参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、凸体の等方的配置を用いて、逆サンタルー不等式、$M$-楕円体の存在、および逆ブラニュッケル＝ミンコフスキー不等式の新しい凸幾何的証明を提示する。等方的配置と凸幾何学および対数凹関数測度の基本的道具を活用することで、有界な等方的定数をもつ任意の凸体が逆サンタルー不等式を満たすことが示され、次に次元に依存しない体積積 $s(K)^{1/n}$ の一様な下界が得られる。

ABSTRACT

We present proofs of the reverse Santaló inequality, the existence of M-ellipsoids and the reverse Brunn-Minkowski inequality, using purely convex geometric tools. Our approach is based on properties of the isotropic position.

研究の動機と目的

• 等方的配置および凸幾何学的道具を用いた逆サンタルー不等式の新しい、初等的な証明を提供すること。
• 等方的配置と体積比較を用いて、任意の中心付き凸体に対して $M$-楕円体の存在を確立すること。
• 逆サンタルー不等式および等方的性質を根拠として、逆ブラニュッケル＝ミンコフスキー不等式を導出すること。
• 凸体および対数凹関数測度の基本的道具のみを用いて、漸近的凸幾何学における主要な結果を統一的かつ再導出すること。
• 有界な等方的定数が逆サンタルー不等式を意味することを示し、これを任意の凸体へと拡張すること。

提案手法

• 凸体の等方的配置を、体積が1、原点に中心があり、慣性行列が正規化された標準形として定義する。
• ミルマンの技法にインspiredされた一歩の同型対称化議論を適用し、主要な幾何的パラメータを保存する。
• クラルタグの手法による凸変種を用いて、小さな変形における体積および双対性の振る舞いを制御する。
• 古典的なブラニュッケル＝ミンコフスキー不等式の帰結を活用し、体積比較推定を得る。
• $K$ と ${\cal E}_K$ が被覆数において一様な係数で近い関係にあるように、体積を保つ $K$ の線形像として $M$-楕円体 ${\cal E}_K$ を定義する。
• $N(K, T)$ およびその双対性を用い、$|K+T|^{1/n}$ を $|{\cal E}_K + T|^{1/n}$ と関連づけ、逆ブラニュッケル＝ミンコフスキー不等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆サンタルー不等式は、凸幾何学的道具と等方的配置のみを用いて証明可能か？
• RQ2 有界な等方的定数をもつ任意の凸体は逆サンタルー不等式を満たすか？
• RQ3 等方的配置および初等的凸幾何学を用いて、$M$-楕円体の存在を確立できるか？
• RQ4 凸体の $M$-配置におけるアフィン像に対して、一様な逆ブラニュッケル＝ミンコフスキー不等式が成り立つか？
• RQ5 等方的枠組みにおいて、逆サンタルー不等式、$M$-楕円体の存在、および漸近的体積積の関係はいかなるものか？

主な発見

• すべての中心付き凸体に対して、一様な下界が成り立つ逆サンタルー不等式が成立する：$\left(\frac{s(K)}{s(B_2^n)}\right)^{1/n} \geq c$（$c>0$ は絶対定数）。この証明は等方的配置と凸変種を用いる。
• 有界な等方的定数をもつ任意の凸体は逆サンタルー不等式を満たし、密度および連続性の議論により、これはすべての凸体へと拡張可能である。
• 任意の中心付き凸体 $K$ に対して、$|K| = |{\cal E}_K|$ かつ被覆数 $N(K, {\cal E}_K)$、$N({\cal E}_K, K)$ が絶対定数 $c$ を用いて $e^{cn}$ で一様に有界な $M$-楕円体 ${\cal E}_K$ が存在する。
• 逆ブラニュッケル＝ミンコフスキー不等式が成立する：任意の中心付き凸体 $K$ および任意の凸体 $T$ に対して、$|K+T|^{1/n} \simeq |{\cal E}_K + T|^{1/n}$ が、絶対定数因子 $e^{c + \log 8}$ で成り立つ。
• 体積積 $s(K) = |K||K^\circ|$ は、$e^{-2(c + \log 8)} s(B_2^n) \leq s(K) \leq e^{2(c + \log 8)} s(B_2^n)$ を満たし、古典的および逆サンタルー不等式の漸近的同値性を示す。
• $M$-配置では、$K$、$K^\circ$ およびそれらの $M$-楕円体間の被覆数が一様に有界であり、ブラニュッケル＝ミンコフスキー不等式の部分的な逆が可能になる。