[論文レビュー] The {\it victory} project v1.0: an efficient parquet equations solver

Gang Li, Anna Kauch+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2017

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ハバード模型におけるパルケット方程式の高性能なフォートラン実装、Victory v1.0 を提示する。この実装により、1粒子および2粒子相関関数の自己無撞着な解法が可能となる。2段階のカーネル近似とマツバラ周波数空間における高周波数正則化を用いることで収束性と精度が保証され、固有値を用いた安定性解析により相転移の兆候が示される。

ABSTRACT

{\it Victory}, i.e. \underline{vi}enna \underline{c}omputational \underline{to}ol deposito\underline{ry}, is a collection of numerical tools for solving the parquet equations for the Hubbard model and similar many body problems. The parquet formalism is a self-consistent theory at both the single- and two-particle levels, and can thus describe individual fermions as well as their collective behavior on equal footing. This is essential for the understanding of various emergent phases and their transitions in many-body systems, in particular for cases in which a single-particle description fails. Our implementation of {\it victory} is in modern Fortran and it fully respects the structure of various vertex functions in both momentum and Matsubara frequency space. We found the latter to be crucial for the convergence of the parquet equations, as well as for the correct determination of various physical observables. In this release, we thoroughly explain the program structure and the controlled approximations to efficiently solve the parquet equations, i.e. the two-level kernel approximation and the high-frequency regulation.

研究の動機と目的

• 強い電子相関系におけるパルケット方程式を数値的に効率的かつスケーラブルに解くソルバーの開発。
• マツバラ空間における3つの運動量と3つの周波数に依存する大きな2粒子頂点関数に起因する計算のボトルネックの解消。
• 周波数空間における開いた境界条件を適切に取り扱うことで、収束性と物理的精度を確保。
• 異なるチャネルにおけるベーテ＝サルピーター方程式の固有値を計算することで、相転移の兆候を検出可能にする。
• ハバード模型における発現的現象（反強磁性、超伝導性など）を研究するための並列化・オープンソースのツールの提供。

提案手法

• プログラムは、自己無撞着に結合されたベーテ＝サルピーター方程式、シュヴィンガー＝ダイソン方程式、およびパルケット方程式を完全に形式化して解く。
• 2段階のカーネル近似を用いて、2粒子頂点関数の複雑さを、より少ない引数の関数への近似によって低減する。
• 高周波数正則化を適用し、頂点関数の漸近的周波数依存性をモデル化することで、有限な周波数ボックス内での収束性を確保する。
• MPIを用いた並列化により、ポイントツーポイント通信を最小限に抑え、スケーラビリティを向上させる。
• 数値的実装において、並進不変性、SU(2)スピン対称性、時間反転対称性といった対称性を明示的に強制する。
• 磁気、ペアリング、電荷チャネルにおけるベーテ＝サルピーター核の最大固有値を計算することで、臨界的な相転移を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハバード模型において、運動量空間およびマツバラ周波数空間に広がる大きな2粒子頂点関数に対して、パルケット方程式をどのように効率的に解くことができるか？
• RQ2 有限な周波数および運動量グリッドを用いてパルケット方程式を解く際、収束性と物理的精度を保つために必要な数値的近似は何か？
• RQ3 ベーテ＝サルピーター方程式の固有値を用いることで、強い電子相関系における相転移をどのように検出し、特徴づけることができるか？
• RQ4 マツバラ周波数空間におけるパルケット方程式の解法を安定化させるために、高周波数正則化が果たす役割は何か？
• RQ5 6×6のクラスターサイズまでを想定した複数コアにおけるプログラムの並列化戦略は、どのようにスケーリングするか？

主な発見

• 2段階のカーネル近似と高周波数正則化は、有限な周波数ボックス内でのパルケット方程式の収束に不可欠である。
• 半フィルインの正方形格子において、磁気チャネルの固有値λは温度が低下するにつれて単調に増加し、1に近づく。これは反強磁性不安定性を示唆する。
• ペアリングチャネルでは、高温ではs波ペアリングが支配的であるが、低温ではd波ペアリング（特に$d_{x^2-y^2}$）が支配的になる。
• 磁気チャネルにおける最大固有値は${\bf q} = (\pi, \pi)$に現れ、正方形格子上の反強磁性秩序と整合的である。
• プログラムはベーテ＝サルピーター方程式の固有関数を正確に計算でき、運動量空間における波動関数のパターンからペアリング対称性を特定可能である。
• Victory v1.0は、最適化をさらに施さなくても、任意の電子数を有する6×6クラスターにおけるハバード模型の研究がすでに可能である。