[論文レビュー] The iterated logarithmic algebra

Daniel E. Loeb|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 1995

Polynomial and algebraic computation参考文献 25被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、反復対数および実数乗の x を含む形式的表現への多項式および逆冪級数理論の一般化である反復対数代数 (I) を導入する。一般化された階乗、二項係数、スターリング数を実数上で定義することで、調和的対数基底を構築し、シフト不変作用素を分類し、二項型列およびシファー列に対して再帰、移行、およびラグランジュ逆行列の公式といった重要な公式を導出する。

ABSTRACT

We generalize the Umbral Calculus of G-C. Rota by studying not only sequences of polynomials and inverse power series, or even the logarithms studied in, but instead we study sequences of formal expressions involving the iterated logarithms and x to an arbitrary real power. Using a theory of formal power series with real exponents, and a more general definition of factorial, binomial coefficient, and Stirling numbers to all the real numbers, we define the Iterated Logarithmic Algebra I. Its elements are the formal representations of the asymptotic expansions of a large class of real functions, and we define the harmonic logarithm basis of I which will be interpreted as a generalization of the powers x^n since it behaves nicely with respect to the derivative We classify all operators over I which commute with the derivative (classically these are known as shift-invariant operators), and formulate several equivalent definitions of a sequence of binomial type. We then derive many formulas useful towards the calculation of these sequences including the Recurrence Formula, the Transfer Formula, and the Lagrange Inversion Formula. Finally, we study Sheffer sequences, and give many examples.

研究の動機と目的

• 反復対数および x の実数乗を含む形式的表現を含むロータのアンブレル計算を拡張すること。
• 実数上で定義される一般化された階乗、二項係数、スターリング数の演算を定義すること。
• 単項式 x^n を一般化し、微分と整合的である調和的対数基底を構築すること。
• 微分と可換である（シフト不変である）線形作用素をすべて代数上に分類すること。
• 二項型列およびシファー列に対して、再帰、移行、およびラグランジュ逆行列の一般化された計算公式を導出すること。

提案手法

• 非整数乗の x および反復対数を取り扱うために、実数乗を許容する形式的冪級数の理論を構築する。
• 古典的な組合せ的構造を拡張するように、すべての実数に対して定義される一般化された階乗および二項係数関数を導入する。
• 微分と滑らかに作用する x^n の一般化として、調和的対数基底を定義する。
• 作用素論を用いて、微分と可換である（すなわちシフト不変である）代数 I 上のすべての線形作用素を分類する。
• この代数内における二項型列に対して、再帰公式、移行公式、およびラグランジュ逆行列公式を導出する。
• フレームワークをシファー列に適用し、統一的な取り扱いと複数の例を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンブレル計算は、形式的冪級数における反復対数および x の実数乗をどのように拡張できるか。
• RQ2 実数に拡張された階乗、二項係数、スターリング数の一般化形態は何か。
• RQ3 代数上で微分と可換である線形作用素はどれであり、どのように完全に分類できるか。
• RQ4 この拡張された代数において、二項型列の一般化された計算公式（再帰、移行、ラグランジュ逆行列）は何か。
• RQ5 シファー列は反復対数代数の文脈でどのように振る舞い、どのような例を導出できるか。

主な発見

• 反復対数および x の実数乗を含む漸近展開の形式的代数 I が定義される。
• 微分と整合的であり、単項式 x^n の性質を自然に拡張する調和的対数基底が構築される。
• 微分と可換であるすべてのシフト不変作用素が、この枠組み内で完全に分類される。
• 再帰公式、移行公式、およびラグランジュ逆行列公式が一般化され、この文脈における二項型列に対して成立することが証明される。
• シファー列が体系的に研究され、いくつかの例が導出され、代数の漸近的解析および組合せ論における有用性が示される。
• 一般化された階乗および二項係数関数がすべての実数上で定義され、非整数乗の指数に対しても組合せ的演算が可能になる。