[論文レビュー] The Jacobian cocycle and equidistribution towards the Green current

Manuel Rodrigo Parra|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、複素射影空間上の正則写像に対して、正の閉 (1,1)-形式の正規化された引き戻しの等分布性が、すべての完全に不変な代数的集合の正規化が至るところ孤立した商特異点をもつ条件下で、グリーン形式へと成立することを確立する。主な結果は、等分布性が成立するための必要十分条件として、有限個の完全に不変な代数的集合の族が存在し、その族に質量を持たないとき、等分布性が成立することである。

ABSTRACT

Given a holomorphic self-map of complex projective space of degree larger than one, we prove that there exists a finite collection of totally invariant algebraic sets with the following property: given any positive closed (1,1)-current of mass 1 with no mass on any element of this family, the sequence of normalized pull-backs of the current converges to the Green current. Under suitable geometric conditions on the collection of totally invariant algebraic sets, we prove a sharper equidistribution result.

研究の動機と目的

• 複素射影空間において、正の閉 (1,1)-形式の正規化された引き戻しがグリーン形式へ収束する条件を同定すること。
• 次元1および2における等分布原理を、分類が十分に理解されていない高次元（k ≥ 3）へと拡張すること。
• 等分布性を妨げる完全に不変な代数的集合の有限例外族を同定し、k=1およびk=2の既知の結果を一般化すること。
• 完全に不変な集合に特異性が弱い条件下で、その例外族に質量を持たないすべての形式に対して、等分布性が成立することを証明すること。
• 代数幾何学の分類結果を用いて、次元3における特異性条件を検証し、次元3における鋭い等分布結果を提供すること。

提案手法

• 繰り返しのヤコビアン行列式の零点の位数を測るためのヤコビアンコサイクル μₙ(x) = k + ordₓ(Jac(fⁿ)) を導入する。
• μₙ(x) が少なくとも δdⁿ の割合で増加する点の集合 E を例外的集合として定義し、定理4.3を用いて E が代数的であることを示す。
• ヤコビアンコサイクルおよび零点の位数の性質を用いて、sup_{x∉E} μₙ(x) ≤ Cρⁿ かつ ρ < d となる一様な減衰推定を確立する。
• μₙ(x) の減衰を用いて、d⁻ⁿ(fⁿ)⁎S のレロング数の上界を評価し、グリーン形式への収束を保証する。
• 完全に不変な集合の正規化における klt および対数正則特異点に関する双有理幾何の結果を用いて、特異性条件を検証する。
• Zhang および Favre の表面における分類結果を活用し、次元3における特異性条件が成立することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の閉 (1,1)-形式 S に対して、列 d⁻ⁿ(fⁿ)⁎S がグリーン形式 T_f へ収束する条件は何か？
• RQ2 完全に不変な代数的集合は、形式の引き戻しの等分布性を妨げる役割を果たすか？
• RQ3 完全に不変な集合の特異性に幾何的条件を課した場合、高次元（k ≥ 3）における等分布結果を確立できるか？
• RQ4 ヤコビアンコサイクル μₙ(x) は引き戻し形式における質量の集中をどのように制御するか？
• RQ5 等分布性を妨げる例外的集合族は、高次元において有限かつ計算可能か？

主な発見

• グリーン形式 T_f へ収束する有限個の完全に不変な代数的集合の族 ℰ_f が存在し、S が ℰ_f の任意の要素に質量を持たないとき、d⁻ⁿ(fⁿ)⁎S は形式の意味で T_f へ収束する。
• 例外族 ℰ_f は次元 k=1 および k=2 における既知の族と一致し、Brolin–Lyubich および Favre–Jonsson の結果を一般化する。
• 主な技術的条件である「すべての完全に不変な代数的集合の正規化が、至るところ孤立した商特異点をもつ」ことは、次元 k=3 で成立する。
• 次元 k=3 において、補題Bは、特異性条件のもとで、例外族に質量を持たないすべての形式に対して等分布性が成立することを確認する。
• ヤコビアンコサイクル μₙ(x) は sup_{x∉E} μₙ(x) ≤ Cρⁿ かつ ρ < d を満たし、これは d⁻ⁿ(fⁿ)⁎S のレロング数の一様な減衰を意味する。
• 減衰率 (ρ/d)ⁿ により、引き戻し形式のレロング数は極限で消えることが保証され、グリーン形式への収束が保証される。