[論文レビュー] The Jones polynomial: quantum algorithms and applications in quantum complexity theory

Paweł Wocjan, Jon Yard|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 21被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、ブレード群のユニタリ表現を用いてジョーンズ多項式およびその一般化であるHOMFLYPT多項式の近似に対する効率的な量子アルゴリズムを提示する。根の1乗根におけるジョーンズ多項式の加法的近似が量子計算を普遍的にシミュレート可能であることを確立し、関連問題のQCMA-およびPSPACE完全性を示し、ジョーンズ多項式の顕著なビットを学習する問題の#P困難性に関する簡略化された量子ベースの証明を提供する。

ABSTRACT

We analyze relationships between quantum computation and a family of generalizations of the Jones polynomial. Extending recent work by Aharonov et al., we give efficient quantum circuits for implementing the unitary Jones-Wenzl representations of the braid group. We use these to provide new quantum algorithms for approximately evaluating a family of specializations of the HOMFLYPT two-variable polynomial of trace closures of braids. We also give algorithms for approximating the Jones polynomial of a general class of closures of braids at roots of unity. Next we provide a self-contained proof of a result of Freedman et al. that any quantum computation can be replaced by an additive approximation of the Jones polynomial, evaluated at almost any primitive root of unity. Our proof encodes two-qubit unitaries into the rectangular representation of the eight-strand braid group. We then give QCMA-complete and PSPACE-complete problems which are based on braids. We conclude with direct proofs that evaluating the Jones polynomial of the plat closure at most primitive roots of unity is a #P-hard problem, while learning its most significant bit is PP-hard, circumventing the usual route through the Tutte polynomial and graph coloring.

研究の動機と目的

• ブレード群のジョーンズ＝ウェンツル表現を実装する効率的な量子回路の開発。
• ジョーンズ多項式の近似に対する量子アルゴリズムを、より広いクラスのブレードクロージャおよびHOMFLYPT多項式へと拡張すること。
• 根の1乗根におけるジョーンズ多項式の加法的近似が量子計算を普遍的に可能であることを示す簡略化された証明の提供。
• ブレードに基づく新しい複雑性理論的問題の確立、特にQCMA-およびPSPACE完全性の結果。
• グラフ彩色やトゥッテ多項式を経由せずに、ジョーンズ多項式の顕著なビットを学習する問題の直接的で量子ベースの#P困難性証明の提供。

提案手法

• 局所的な2キュービットユニタリ操作を用いて、ブレード群のジョーンズ＝ウェンツルユニタリ表現を実装する効率的な量子回路の構築。
• 8本のストランドを持つブレード群の長方形表現に2キュービット量子ゲートを符号化し、4周期性を活用してゲート実装を簡略化。
• ユニタリ表現を用いて、量子回路によるジョーンズ多項式およびHOMFLYPT多項式評価の加法的近似を計算。
• 量子ゲートをブレードに符号化することで、量子回路のシミュレーションをブレード操作に還元し、1キュービットあたり4本のストランドによる符号化で簡略化。
• ヘッケ代数の構造を用いて、ジョーンズ多項式およびHOMFLYPT多項式の表現論的公式を導出。
• ジョーンズ多項式の最上位ビットを学習することが#P-およびPP困難問題を解くことに相当することを示すことにより、困難性の証明を実施。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブレード群の表現を用いて、ジョーンズ多項式およびHOMFLYPT多項式の近似に対する効率的な量子アルゴリズムを構築可能か？
• RQ2 根の1乗根におけるジョーンズ多項式の加法的近似は、普遍的量子計算をシミュレートするのに十分か？
• RQ3 1キュービットあたり3本ではなく4本のストランドによる符号化を用いることで、量子回路のブレードによるシミュレーションを簡略化可能か？
• RQ4 ブレードのプラットクロージャのジョーンズ多項式の最上位ビットを学習することは、PP困難か？
• RQ5 ブレードのプラットクロージャのジョーンズ多項式の線形数の最上位ビットを学習することは、#P困難か？

主な発見

• 本稿では、ストランド数および交差数に対して多項式時間で実行可能な量子回路を構築し、ストランド数に対して多項式的な回路深さを持つジョーンズ＝ウェンツル表現の実装を達成した。
• パラメータℓの増大に依存せず、kが定数のとき、HOMFLYPT多項式評価の加法的近似が多項式時間で達成可能である。
• 著者らは、ブレードのプラットクロージャのジョーンズ多項式の加法的近似が量子計算を普遍的に可能であることを示す簡略化された証明を提供した。これはBQPと同等である。
• プラットクロージャのジョーンズ多項式を共役により増加させる問題はQCMA完全であることが示され、NP完全性の量子アナログが確立された。
• ブレードを指数関数的に多数連結した後のジョーンズ多項式の近似問題はPSPACE完全であることが証明された。
• ブレードのプラットクロージャのジョーンズ多項式の最上位ビットを学習することはPP困難であり、その線形数の最上位ビットを学習することは#P困難である。これは、グラフ彩色やトゥッテ多項式を経由せずに、直接的な量子ベースの証明により示された。