[論文レビュー] The Jones vector as a spinor and its representation on the Poincaré sphere

G. F. Torres del Castillo, I. Rubalcava García|LA Referencia (Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas)|Mar 19, 2013

Mathematics and Applications参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、単色電磁平面波のジョーンズベクトルが数学的に SU(2) スピンルであることを確立し、幾何学的に偏光状態（ポアンカレ球面上の点として）と波の位相（球面への接ベクトルとして）を表すことを示している。主な貢献は、接ベクトルを通じて自然に位相を組み込む統一されたスピンル形式であり、パーンチャラトナム位相の幾何的解釈および光学フィルタの作用をポアンカレ球面上の点と接ベクトルの変換として記述可能にする。

ABSTRACT

It is shown that the two complex Cartesian components of the electric field of a monochromatic electromagnetic plane wave, with a temporal and spatial dependence of the form ${ m e}^{{ m i} (kz - ωt)}$, form a SU(2) spinor that corresponds to a tangent vector to the Poincaré sphere representing the state of polarization and phase of the wave. The geometrical representation on the Poincaré sphere of the effect of some optical filters is reviewed. It is also shown that in the case of a partially polarized beam, the coherency matrix defines two diametrically opposite points of the Poincaré sphere.

研究の動機と目的

• 偏光光学におけるジョーンズベクトルと SU(2) スピンル形式との深い関係を確立すること。
• ジョーンズベクトルがポアンカレ球面上の接ベクトルに対応することを示し、波の位相を符号化すること。
• 位相シフターと減衰器などの光学フィルタの効果を、ポアンカレ球面上の点と接ベクトルに対するスピンル変換を用いて幾何学的に解釈すること。
• 偏光度が低い光に対しては、コherーショニーマトリクスがポアンカレ球面上の2つの直径方向に配置された点を定義することを示し、形式を拡張すること。
• 球面三角法に依存しないスピンル技法を用いて偏光と位相の記述を統一すること。

提案手法

• ジョーンズベクトルが2成分の SU(2) スピンルとして特定され、電場成分が振幅、楕円度、位相パラメータを含む変換を介してスピンル成分で表現される。
• スピンル成分から導かれる標準的なステークスパラメータを用いて、偏光状態をポアンカレ球面上の点にマッピングする。
• 波の位相は、スピンル変換の実部から導かれる、偏光点におけるポアンカレ球面への接ベクトルとして表現される。
• 光学フィルタ（位相シフターと減衰器）は、SU(2) 変換としてモデル化され、位相シフターは回転、減衰器はパウリ行列の指数写像によるローレンツブーストとして作用する。
• 偏光度が低いビームに対しては、コherーショニーマトリクスをスピンル基底で表現し、それがポアンカレ球面上の2つの直径方向に配置された固有スピンルを定義することを示す。
• 偏光度が低い光に対するフィルタ効果は、ユニタリ変換（位相シフターの場合）または非ユニタリ変換（減衰器の場合）をコherーショニーマトリクスに作用させ、対応するステークスパラメータがどのように変化するかを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョーンズベクトルは SU(2) 群におけるスピンルとしてどのように解釈され、その割り当てが単色電磁波の偏光と位相にどのような幾何的意味をもたらすか？
• RQ2 ジョーンズベクトルから導かれるポアンカレ球面への接ベクトルは、波の位相をどのように表現し、パーンチャラトナム位相の定義とどのように関係するか？
• RQ3 位相シフターがポアンカレ球面上でどのように作用するか、そしてスピンル形式ではどのように表現されるか？
• RQ4 減衰器は偏光度が低いビームの偏光状態にどのように影響を及ぼし、コherーショニーマトリクスとスピンル形式を用いてどのように記述されるか？
• RQ5 なぜ偏光度が低いビームがポアンカレ球面上の2つの直径方向に配置された点に対応するのか、そしてこれはコherーショニーマトリクスの固有スピンルとどのように関係するか？

主な発見

• ジョーンズベクトルは数学的に SU(2) スピンルと同等であり、振幅、偏光状態、位相を統一的に表現する。
• 偏光状態はポアンカレ球面上の点に対応し、位相はその点における球面への接ベクトルに符号化される。
• 位相シフターはポアンカレ球面の回転として作用し、スピンルの変換は SU(2) のスピン1/2表現に対応する。
• 減衰器はポアンカレ球面上で等角変換を引き起こし、式 (40) に示されるように、x 方向へのローレンツブーストに等しい。
• 偏光度が低い光では、コherーショニーマトリクスがポアンカレ球面上の2つの直径方向に配置された点を定義するが、完全に偏光していない状態では固有スピンルは定義されない。
• 偏光度が低いビームに対する光学フィルタの作用は、コherーショニーマトリクスを SU(2) 操作で変換することで記述され、変換後の偏光状態は元の直径方向に配置された2点を回転またはブーストすることで得られる。