[論文レビュー] The Jordan formulation of Quantum Mechanics: a review

Paul Townsend|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2016

Quantum Information and Cryptography参考文献 2被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、量子力学のジョルダン代数形式をレビューし、標準的な作用素積に代わってジョルダン積を用いる非可換な代数的構造を提案する。この枠組みにおいて時間発展は、密度行列形式における交換子に類似した、結合子によって支配されることを示し、トレースゼロのエルミート行列 $ x,y $ を用いた $ H = i[x,y] + \lambda\mathbb{I} $ の形のハミルトニアンが得られる。これは標準量子力学の「平方根」的解釈を提供し、超対称性との潜在的関係を示唆する。

ABSTRACT

This is a transcription of a conference proceedings from 1985. It reviews the Jordan algebra formulation of quantum mechanics. A possible novelty is the discussion of time evolution; the associator takes over the role of $i$ times the commutator in the standard density matrix formulation, and for the Jordan algebra of complex Hermitian matrices this implies a Hamiltonian of the form $H= i[x,y] + λ\mathbb{I}$ for traceless Hermitian $x,y$ and real number $λ$. Other possibilities for time evolution in the Jordan formulation are briefly considered.

研究の動機と目的

• ジョルダン代数を用いた量子力学の再定式化を図り、その代数的構造と物理的解釈に焦点を当てる。
• ジョルダン形式における時間発展を検討し、標準的な密度行列アプローチと対比する。
• ジョルダン形式が、特にその非可換構造を通じて、量子力学のより深いか、より根本的な記述を提供できるかどうかを検討する。
• 微分作用素と結合子の役割が、線形時間発展方程式を生成する仕組みを検討する。

提案手法

• 量子観測可能量を、可換なジョルダン積 $ a \circ b = \frac{1}{2}(ab + ba) $ を持つ、形式的に実数的で単位的であるジョルダン代数の元として定式化する。
• べき結合性を保証し、観測可能量への関数的を可能にするジョルダン恒等式 $ a \circ (a^2 \circ b) = a^2 \circ (a \circ b) $ を用いる。
• 密度行列を $ \mathrm{tr}(\rho) = 1 $ を満たす正定値元 $ \rho $ として表現し、期待値を $ \langle a \rangle = \mathrm{tr}(a \circ \rho) $ で計算する。
• 時間発展を $ \dot{\rho} = D(\rho) $ として導出する。ここで $ D $ はジョルダン代数の微分作用素である。
• 微分作用素を $ D_{x,y} = [L_x, L_y] $ として表現し、$ L_x $ をトレースゼロの元 $ x $ による左乗法と定義することで、$ \dot{\rho} = [x, \rho, y] $、すなわち結合子が得られる。
• ハミルトニアン $ H = i[x,y] + \lambda\mathbb{I} $ の下で、標準シュレーディンガー方程式と等価であることを示し、ジョルダン形式が標準量子力学の「平方根」として解釈できることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数やヒルベルト空間の代わりに、ジョルダン代数を用いて量子力学をどのように再定式化できるか？
• RQ2 ジョルダン形式における時間発展において、結合子が果たす役割は何か？また、標準形式における交換子とはどのように関係するか？
• RQ3 ジョルダン形式は、純粋状態を混合状態に写像する時間発展を記述できるか？もしそうなら、その方法は何か？
• RQ4 例外的ジョルダン代数 $ H_3^\mathbb{O} $ が量子理論に与える意味は何か？特に、ヒルベルト空間形式が存在しない状況において。
• RQ5 ジョルダン代数の微分作用素が、正定値領域の自己同型群をどのように生成するか？また、これにより線形時間発展にどのような制約が課されるか？

主な発見

• 結合子 $ [x, \rho, y] = x \circ (\rho \circ y) - (x \circ \rho) \circ y $ は、ジョルダン形式において、標準密度行列形式における交換子と類似した役割を果たす。
• 複素エルミート行列に対して、時間発展方程式 $ \dot{\rho} = [x, \rho, y] $ は、$ H = i[x,y] + \lambda\mathbb{I} $ の下で標準シュレーディンガー方程式を再現し、標準形式と等価であることが示された。
• ジョルダン代数の微分作用素はすべて $ D_{x,y} = [L_x, L_y] $ の形に表現可能であり、ここで $ L_x $ はトレースゼロの元 $ x $ による左乗法である。この構造により、ジャコビ恒等式が保証される。
• ジョルダン代数の正定値領域 $ C(J) $ は同次コーンであり、その自己同型群は微分作用素と乗法作用素によって生成されるが、密度行列のトレース条件を保つのは微分作用素のみである。
• 純粋状態を混合状態に写像する一般化された時間発展は、線形的かつトレース保存的であるためには、群作用でなければならない。これは、そのような発展が熱力学第二法則に整合する半群を形成することを示唆する。
• オクタニオンに基づく例外的ジョルダン代数 $ H_3^\mathbb{O} $ は、標準的乗法の下で行列として実現できない。また、グレニー恒等式を満たさないことで、その非可換かつ例外的性質が確認され、ヒルベルト空間形式の実現は不可能である。