[論文レビュー] The Jordan-Hölder series of the locally analytic Steinberg representation

Sascha Orlik, Benjamin Schraen|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、分岐再帰的 $p$-進代数群 $G$ に対する局所解析的シュタイナーバルト表現 $V^G_B$ のジョルダン・ホルダー合成因子（重複度を含む）を決定する。局所解析的 BGG分解と評価された局所解析的ティーツ複体のアセイクリック性を用いて、各既約成分が ${\mathcal{F}}^{G}_{P_I}(L(w\cdot 0), v^{P_I}_{P_J})$ の形に現れ、重複度が $w'$ が $J$ を含むサポートを持つような $m(w',w)$ の符号付き和で与えられることを示している。また、滑らかなシュタイナーバルト表現は唯一の滑らかな部分商であることを示している。

ABSTRACT

We determine the composition factors of a Jordan-Hölder series including multiplicities of the locally analytic Steinberg representation. For this purpose we prove the acyclicity of the evaluated locally analytic Tits complex giving rise to the Steinberg representation. Further we describe some analogue of the Jacquet functor applied to the irreducible principal series representation constructed by Orlik and Strauch.

研究の動機と目的

• 分岐再帰的 $p$-進代数群に対する局所解析的シュタイナーバルト表現 $V^G_B$ の合成因子（重複度を含む）を特定すること。
• 評価された局所解析的ティーツ複体のアセイクリック性を証明し、誘導表現への還元を可能にする。
• 関手 ${\mathcal{F}}^G_P$ を最高ウェイト加群と滑らかな一般化シュタイナーバルト表現に適用することで、既約成分の構造を記述すること。
• カジダン＝ルシュティグ理論とウェイル群のサポート条件を用いて、重複度の明確な公式を確立すること。
• テイトルバウムが提起した $V^G_B$ のジョルダン・ホルダー系列に関する問いを解決すること。

提案手法

• 関手 ${\mathcal{F}}^G_P$ の二重完全性と局所解析的 BGG分解を用いて、評価された局所解析的ティーツ複体のアセイクリック性を証明する。
• 関手 ${\mathcal{F}}^G_P(M,V)$ を既約最高ウェイト加群 $M = L(w\cdot 0)$ と滑らかな一般化シュタイナーバルト表現 $V = v^{P_I}_{P_J}$ に適用する。
• BGG分解を用いて、ティーツ複体のホモロジーとヴェルマ加群、およびそれらの合成因子を関連付ける。
• カジダン＝ルシュティグ理論を用いて、ヴェルマ加群 $M(w'\cdot 0)$ における $L(w\cdot 0)$ の重複度 $m(w',w)$ を計算する。
• 重複度公式における $w'$ の和を、${\rm supp}(w') = J$ というサポート条件によって制限する。
• ${\mathcal{F}}^G_P(M,V)$ の同型条件を、既約性と同型性がデータ $(M,V)$ によって制御されることを示すことによって確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所解析的シュタイナーバルト表現 $V^G_B$ の合成因子（重複度を含む）は何か？
• RQ2 局所解析的ティーツ複体のアセイクリック性は $V^G_B$ の構造とどのように関係するか？
• RQ3 二つの表現 ${\mathcal{F}}^G_P(L(w\cdot 0), v^{P_I}_{P_J})$ が同型となる条件は何か？
• RQ4 $V^G_B$ における既約成分の重複度は、カジダン＝ルシュティグ多項式または重複度で表現できるか？
• RQ5 滑らかなシュタイナーバルト表現は $V^G_B$ の唯一の滑らかな部分商であるか？

主な発見

• 表現 ${\mathcal{F}}^G_{P_I}(L(w\cdot 0), v^{P_J}_{P_I})$ の $V^G_B$ における重複度は、$\sum_{w' \in W \atop {\rm supp}(w')=J} (-1)^{\ell(w') + |J|} m(w',w)$ で与えられる。
• 表現 ${\mathcal{F}}^G_{P_I}(L(w\cdot 0), v^{P_J}_{P_I})$ が非ゼロの重複度で現れるのは、$J \subset {\rm supp}(w)$ であるときかつそのときに限る。
• 滑らかなシュタイナーバルト表現は $V^G_B$ の唯一の滑らかな部分商であり、$I = \Delta$, $J = \emptyset$, $w$ がコクセター元である場合に一致する。
• 評価された局所解析的ティーツ複体のアセイクリック性は、BGG分解と関手 ${\mathcal{F}}^G_P$ の二重完全性によって確立される。
• 複体 $C_\bullet({\mathfrak{g}}, I)$ は $U({\mathfrak{g}}) \otimes_{U({\mathfrak{p}}_I)} C_\bullet({\mathfrak{l}}_I)$ に同型であり、正の次数で完全である。
• 複体 $\overline{C}_\bullet({\mathfrak{g}}, I)$ は次数 $> |I|$ で完全であり、$M_I$ は $H_{|I|}(\overline{C}_\bullet({\mathfrak{g}}, I))$ の商である。これにより重複度の上限とサポート条件が導かれる。