[論文レビュー] The Josefson--Nissenzweig theorem, Grothendieck property, and finitely supported measures on compact spaces

Jerzy Ka̧kol, Damian Sobota+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2020

Advanced Banach Space Theory参考文献 66被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ノルムが1で弱*-収束する、有限台を持つRadon測度のJosefson–Nissenzweig系列を許容するコンパクト空間 $K$ の特徴づけを確立する。主な結果は、$K$ がこのような系列を許容することと、$\ell_1(K)$ 内の汎関数に制限された $C(K)$ のGroーディッケの性質が成り立たないことの同値性である。さらに、無限個のコンパクト空間の積は常にこのような系列を許容することを示し、$C_p(K \times L)$ が $(c_0)_p$ の補完可能な部分空間を含むことを構成的証明により得ており、$C(K \times K)$ における古典的な $c_0$ の補完可能性に関する結果を一般化する。

ABSTRACT

The celebrated Josefson-Nissenzweig theorem implies that for a Banach space $C(K)$ of continuous real-valued functions on an infinite compact space $K$ there exists a sequence of Radon measures $\langleμ_n\colon\ n\inω angle$ on $K$ which is weakly* convergent to the zero measure on $K$ and such that $\big\|μ_n\big\|=1$ for every $n\inω$. We call such a sequence of measures extit{a Josefson-Nissenzweig sequence}. In this paper we study the situation when the space $K$ admits a Josefson-Nissenzweig sequence of measures such that its every element has finite support. We prove among the others that $K$ admits such a Josefson-Nissenzweig sequence if and only if $C(K)$ does not have the Grothendieck property restricted to functionals from the space $\ell_1(K)$. We also investigate miscellaneous analytic and topological properties of finitely supported Josefson-Nissenzweig sequences on general Tychonoff spaces. We prove that various properties of compact spaces guarantee the existence of finitely supported Josefson-Nissenzweig sequences. One such property is, e.g., that a compact space can be represented as the limit of an inverse system of compact spaces based on simple extensions. An immediate consequence of this result is that many classical consistent examples of Efimov spaces, i.e. spaces being counterexamples to the famous Efimov problem, admit such sequences of measures. Similarly, we show that if $K$ and $L$ are infinite compact spaces, then their product $K imes L$ always admits a finitely supported Josefson--Nissenzweig sequence. As a corollary we obtain a constructive proof that the space $C_p(K imes L)$ contains a complemented copy of the space $c_0$ endowed with the pointwise topology--this generalizes results of Cembranos and Freniche. Finally, we provide a direct proof of the Josefson-Nissenzweig theorem for the case of Banach spaces $C(K)$.

研究の動機と目的

• コンパクト空間 $K$ が有限台を持つRadon測度のJosefson–Nissenzweig系列を許容するための特徴づけを行う。
• このような系列と、$C(K)$ におけるGroーディッケの性質との関係、特に $\ell_1(K)$ 内の汎関数に制限した場合の関係を調査する。
• コンパクト空間が有限台を持つJosefson–Nissenzweig系列を許容するための十分な位相的および解析的条件を確立する。
• 既知の $C(K \times L)$ における $c_0$ の補完可能な部分空間に関する結果を、有限台を持つ測度を用いた構成的証明により一般化する。

提案手法

• Tychonoff空間上で有限台を持つJosefson–Nissenzweig系列（fsJN系列）の概念を導入し、ノルムが1で弱*-収束する有限台付き測度の列として定義する。
• 測度論的議論と有限集合上の和に関する組合せ的推定を用いて、単純な拡張を介して逆極限のコンパクト空間上にこのような系列を構成する。
• Stoneの拡張性質を用いて、$\beta\omega$ から任意の無限コンパクト空間 $K$ および $L$ に系列を持ち上げ、弱*-収束性と有限台を保つ。
• $\beta\omega \times \beta\omega$ 上の既知の fsJN系列から $K \times L$ 上のプルバック測度列 $\nu_n$ を構成し、連続写像との合成により弱*-収束性を示す。
• Rieszの表現定理を用いて、$C_p(X)$ 上の連続汎関数を有限台付き測度と同一視し、Josefson–Nissenzweig性質と $(c_0)_p$ の $C_p(X)$ 内の補完可能性を結びつける。
• 以前の証明で用いられた関数解析的道具を避けて、$C(K)$-空間におけるJosefson–Nissenzweig定理の直接的で測度論的証明を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト空間 $K$ がノルムが1で弱*-収束する有限台付き測度からなるJosefson–Nissenzweig系列を許容するのはいつか？
• RQ2 このような系列の存在と、$C(K)$ におけるGroーディッケの性質との正確な関係は何か、特に $\ell_1(K)$-汎関数に制限した場合にどうか？
• RQ3 コンパクト空間 $K$ が有限台を持つJosefson–Nissenzweig系列を許容するための位相的条件は何か？
• RQ4 二つの無限コンパクト空間 $K$ と $L$ の積は、常に有限台を持つJosefson–Nissenzweig系列を許容するか？
• RQ5 このような系列の存在を用いて、$C_p(K \times L)$ に $c_0$ の補完可能な部分空間を構成できるか？

主な発見

• コンパクト空間 $K$ が有限台を持つJosefson–Nissenzweig系列を許容することと、$\ell_1(K)$ 内の汎関数に制限された $C(K)$ がGroーディッケの性質を持たないこととは同値である。
• 任意の二つの無限コンパクト空間 $K$ と $L$ の積 $K \times L$ は、$\beta\omega \times \beta\omega$ からの持ち上げにより、有限台を持つJosefson–Nissenzweig系列を許容する。
• $K \times L$ 上でのこのような系列の存在は、$C_p(K \times L)$ が $(c_0)_p$ を商として許容することを示し、Cembranos と Freniche の結果を一般化する。
• この論文は、$C(K)$-空間におけるJosefson–Nissenzweig定理の直接的で測度論的証明を提供し、以前の証明で用いられた複雑な関数解析的道具を避ける。
• 単純な拡張によるコンパクト空間の逆極限である空間は、有限台を持つJosefson–Nissenzweig系列を許容する。これは、Efimov空間の多くの古典的で一貫性のある例に適用可能である。
• 構成により、ノルムが1で弱*-収束する $K \times L$ 上の有限台付き測度列が得られ、すべての $f \in C(K \times L)$ に対して $\lim_{n \to \infty} \int_{K \times L} f \, d\nu_n = 0$ が成り立つ。