[論文レビュー] The Kähler-Ricci flow and the $\bar\partial$ operator on vector fields

D. H. Phong, Jian Song+2 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、Fano多様体上の正規化されたケーラー・リッチ・フローが、Mabuchi Kエネルギーが下から有界であり、$\bar\partial^\dagger\bar\partial$作用素の最小の正の固有値がフローに沿って0から離れて保たれる場合、ケーラー・アインシュタイン計量へ指数的 $C^{\infty}$ 速度で収束する条件を確立する。その結果、計量は指数的 $C^\infty$ 速度でケーラー・アインシュタイン計量に収束する。

ABSTRACT

The limiting behavior of the normalized Kähler-Ricci flow for manifolds with positive first Chern class is examined under certain stability conditions. First, it is shown that if the Mabuchi K-energy is bounded from below, then the scalar curvature converges uniformly to a constant. Second, it is shown that if the Mabuchi K-energy is bounded from below and if the lowest positive eigenvalue of the $\bar\partial^\dagger \bar\partial$ operator on smooth vector fields is bounded away from 0 along the flow, then the metrics converge exponentially fast in $C^\infty$ to a Kähler-Einstein metric.

研究の動機と目的

• 正の第一チャーン類をもつコンパクトケーラー多様体上での正規化されたケーラー・リッチ・フローの漸近的挙動を理解すること。
• フローの収束を安定性条件、特にMabuchi Kエネルギーの有界性と $\bar\partial^\dagger\bar\partial$ 作用素のスペクトル的性質と関連付けること。
• あらかじめケーラー・アインシュタイン計量の存在を仮定しないで、指数的 $C^\infty$ 収束の十分条件を確立すること。
• 幾何的安定性（スペクトルギャップを介して）とフローの長期的挙動との関係を明確にすること。

提案手法

• 正規化されたケーラー・リッチ・フローは $ \partial_t g_{\bar{k}j} = -(R_{\bar{k}j} - g_{\bar{k}j}) $ で定義され、初期計量は第一チャーン類に属する。
• スカラー曲率を制御するための関数としてMabuchi Kエネルギーが用いられ、その下からの有界性が重要な仮定である。
• 滑らかな $T^{1,0}$-ベクトル場上の $\bar\partial^\dagger\bar\partial$ 作用素の最小の正の固有値に対するスペクトルギャップ条件 $ \inf_{t \in [0,\infty)} \lambda_{\omega(t)} > 0 $ が課される。
• 証明には連続性法と、曲率および勾配ノルムの推定が用いられ、特にスカラー曲率の勾配の $L^2$-ノルムが利用される。
• 平均リッチポテンシャルの単調性を導出し、$\nabla R$ の $L^2$-ノルムを用いて収束速度を制御する。
• 重要なステップとして、Mabuchi Kエネルギーの有界性のもとで $R(t) - n$ の $C^0$-ノルムが0に近づくことを示し、追加のスペクトルギャップ条件のもとで指数的減衰を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fano多様体上での正規化されたケーラー・リッチ・フローがケーラー・アインシュタイン計量に収束する条件は何か？
• RQ2 Mabuchi Kエネルギーの有界性だけでは、スカラー曲率が定数に一様収束すると言えるか？
• RQ3 $T^{1,0}$-ベクトル場上での $\bar\partial^\dagger\bar\partial$ 作用素のスペクトルギャップが、フローの指数的 $C^\infty$ 収束を保証できるか？
• RQ4 Mabuchi Kエネルギーの有界性のもとで、条件 $ \inf_{t \in [0,\infty)} \lambda_{\omega(t)} > 0 $ がケーラー・アインシュタイン計量の存在と同倹であるか？
• RQ5 安定性条件 (A) と (S) は、複素構造のモジュライ空間の幾何的構造とどのように関係するか？

主な発見

• Mabuchi Kエネルギーが下から有界であれば、$ t \to \infty $ のとき $ \|R(t) - n\|_{C^0} \to 0 $ となり、これはスカラー曲率が $ n $ に一様収束することを意味する。
• 同じMabuchi Kエネルギーの有界性とスペクトルギャップ条件 $ \inf_t \lambda_{\omega(t)} > 0 $ の下で、計量 $ g_{\bar{k}j}(t) $ は指数的 $C^\infty$ 速度でケーラー・アインシュタイン計量に収束する。
• Mabuchi Kエネルギーの有界性のもとでは、$ \|\nabla R(t)\|_{L^2} \to 0 $ が $ t_m \to \infty $ なる列に対して成り立つ。
• Mabuchi Kエネルギーの有界性と組み合わせて $ \inf_{\omega \in \pi c_1(X)} \lambda_\omega > 0 $ が成り立つと、フローのすべての解について指数的 $ C^\infty $ 収束が成立する。
• 逆に、フローが $ C^\infty $ にケーラー・アインシュタイン計量に収束するならば、Mabuchi Kエネルギーは下から有界であり、スペクトルギャップ条件も成り立つ。
• 指数的 $ C^\infty $ 収束は、バイホロモーレックな再パrametrizationのもとでも保たれる：もし $ (\Psi_t)_*(g(t)) $ がケーラー・アインシュタイン計量に収束するならば、$ g(t) $ 自身も同様に収束する。