[論文レビュー] The k-local Pauli Commuting Hamiltonians Problem is in P

Jijiang Yan, Dave Bacon|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、k局所的パウリ非可換ハミルトニアン問題—すべての可換パウリ項を同時に最小化する量子状態が存在するかを特定する問題—がPに属することを証明している。これは古典的コンピュータ上で効率的に解けることを意味する。この解決法は安定化子形式を活用し、シンプレクティックベクトル空間上のXOR-SATインスタンスに問題を還元する。この結果、トーラスコードのようなトポロジカルに秩序された系ですら、この制約下では古典的に扱えることが示された。

ABSTRACT

Given a Hamiltonian that is a sum of commuting few-body terms, the commuting Hamiltonian problem is to determine if there exists a quantum state that is the simultaneous eigenstate of all of these terms that minimizes each term individually. This problem is known to be in the complexity class quantum Merlin-Arthur, but is widely thought to not be complete for this class. Here we show that a limited form of this problem when the individual terms are all made up of tensor products of Pauli matrices is efficiently solvable on a classical computer and thus in the complexity class P. The problem can be thought of as the classical XOR-SAT problem over a symplectic vector space. This class of problems includes instance Hamiltonians whose ground states possess topological entanglement, thus showing that such entanglement is not always a barrier for the more general problem.

研究の動機と目的

• k局所的パウリ非可換ハミルトニアン問題の計算複雑性を特定すること。
• 非可換ハミルトニアンにおけるトポロジカル秩序が量子計算の困難性を引き起こすかを調査すること。
• パウリ演算子からなる非可換ハミルトニアンが古典的に効率的に解けるかを確立すること。
• 安定化子コードと量子多体問題の古典的可解性との関係を明らかにすること。
• トポロジカルなもつれが、非可換ハミルトニアン系における効率的な古典的シミュレーションの障壁となるかを明確にすること。

提案手法

• 問題がシンプレクティックベクトル空間上の可換パウリ演算子の集合として再定式化される。
• ガウスの消去法とクリフォード操作（CNOT、ハダマード、Sゲート）を適用し、ハミルトニアンを標準形に変換する。
• 変換により、安定化子行列に−I行が現れるかどうかをチェックすることで問題が簡略化される。この行が現れる場合は解なしを示す。
• −I行が現れない場合、系は常に計算基底状態のテンソル積に対応する単一クビットの±X演算子の集合に還元される。
• この全還元プロセスは、安定化子コード理論における既知の手法を用いて多項式時間で計算可能であることが示された。
• 問題は、二値シンプレクティック空間上のXOR-SATインスタンスにマッピングされ、これはPに属することが知られている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k局所的パウリ非可換ハミルトニアン問題は、古典的コンピュータ上で多項式時間で解けるか？
• RQ2 非可換ハミルトニアンにおけるトポロジカル秩序と古典的扱いやすさが共存可能か？
• RQ3 安定化子形式は、非可換パウリハミルトニアンの効率的古典的シミュレーションを可能にするか？
• RQ4 パウリ演算子に制限した場合、非可換ハミルトニアン問題はNPに属するか？
• RQ5 トポロジカル秩序を超えて、非可換ハミルトニアンの複雑性を決定づける構造的特徴は何か？

主な発見

• k局所的パウリ非可換ハミルトニアン問題はPに属する。これは、古典的コンピュータ上で多項式時間で解けることを意味する。
• 解法は、クリフォード操作とガウスの消去法を用いてハミルトニアンを標準形に変換することに依存する。
• 還元過程で−I行が現れる場合、解なしを示す。
• −I行が現れない限り、還元が完了した場合、解は常に計算基底状態のテンソル積に対応する。
• 問題はシンプレクティックベクトル空間上のXOR-SATインスタンスに還元され、これはPに属することが知られている。
• トポロジカルに秩序された系、たとえばキタエフのトーラスコードもこのクラスに含まれ、この定式化下では依然として古典的に解ける。