[論文レビュー] The k-metric dimension of a graph

Alejandro Estrada‐Moreno, Juan A. Rodríguez‐Velázquez+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 18被引用数 78

ひとこと要約

本稿では、グラフのk-メトリック次元を導入し、メトリック次元の一般化として、任意の2頂点のペアが少なくともk個のランドマークによって区別されるようなk-メトリック生成子を定義する。k-メトリック次元のグラフの特徴付けを確立し、特定の構造的条件下での木のk-メトリック次元の正確な公式を提示。一部の状況では、k-メトリック次元がk-区別可能なペアの数に等しくなることを示している。

ABSTRACT

As a generalization of the concept of a metric basis, this article introduces the notion of $k$-metric basis in graphs. Given a connected graph $G=(V,E)$, a set $S\subseteq V$ is said to be a $k$-metric generator for $G$ if the elements of any pair of different vertices of $G$ are distinguished by at least $k$ elements of $S$, i.e., for any two different vertices $u,v\in V$, there exist at least $k$ vertices $w_1,w_2,...,w_k\in S$ such that $d_G(u,w_i) e d_G(v,w_i)$ for every $i\in \{1,...,k\}$. A metric generator of minimum cardinality is called a $k$-metric basis and its cardinality the $k$-metric dimension of $G$. A connected graph $G$ is $k$-metric dimensional if $k$ is the largest integer such that there exists a $k$-metric basis for $G$. We give a necessary and sufficient condition for a graph to be $k$-metric dimensional and we obtain several results on the $k$-metric dimension.

研究の動機と目的

• 標準的なメトリック次元の限界に対処する。すなわち、1つのランドマークが頂点を一意に特定できるが、通信障害が発生すると曖昧性が生じる可能性があること。
• 任意の2頂点を区別するために少なくともk個のランドマークを要するように定式化することで、ネットワークにおける耐障害性の高い位置特定システムを構築すること。
• k-メトリック次元を、k-メトリック生成子の最小サイズとして定義・分析し、古典的なメトリック次元の概念を一般化すること。
• k-メトリック次元のグラフ、すなわちkが、k-メトリックベースが存在する最大の値であるようなグラフを特徴付けること。
• 木のメトリック的に支配的な頂点の構造的制約が与えられた場合に、その木のk-メトリック次元を正確に計算する公式を導出すること。

提案手法

• k-メトリック生成子を、すべての異なる頂点のペアu, v ∈ V が、Sに属する少なくともk個の頂点w_i ∈ S によって区別されるような集合S ⊆ V として定義する。すなわち、d(u, w_i) ≠ d(v, w_i) がk個の異なるw_i ∈ S に対して成り立つこと。
• k-メトリック次元 dim_k(G) を、このようなk-メトリック生成子の最小基数として定義する。
• メトリックベースと区別集合の構造に着目し、k-メトリック次元のグラフを特徴付ける必要十分条件を同定する。
• 木をメトリック区間へ分解し、メトリック的に支配的な頂点（M(T)）とその端点次数（ter(w)）およびスターグラフ次数（ς(w)）の概念を用いて分析する。
• 木Tのk-メトリック次元の公式を、dim_k(T) = k|ℳ(T)| と確立する。ここで、すべてのメトリック的に支配的な頂点wに対して、ter(w) = 2 かつ ς(w) = k が成り立つ場合。
• このような木において、k-メトリック次元がk-区別可能なペアの数 |𝒟_k(T)| に等しくなることを証明し、理論的下界のタイトさを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフGがk-メトリック次元であるための条件は何か。すなわち、k-メトリックベースが存在する最大のk値が存在するようなグラフである。
• RQ2 木Tのメトリック的に支配的な頂点の構造的制約が与えられた場合、その木のk-メトリック次元を正確に計算する方法は何か。
• RQ3 メトリック的に支配的な頂点の数やその次数といった構造的不変量を用いて、k-メトリック次元を上界または正確に計算できるか。
• RQ4 どのような条件下で、木におけるk-メトリック次元がk-区別可能なペアの数 |𝒟_k(T)| に等しくなるか。
• RQ5 k-メトリック次元は古典的なメトリック次元をどのように一般化するか。また、耐障害性のあるネットワーク位置特定に与える影響は何か。

主な発見

• グラフGがk-メトリック次元であるための必要十分条件は、k-メトリックベースが存在し、かつ(k+1)-メトリックベースが存在しないことである。これは、少なくとも1つの頂点ペアが正確にk個のランドマークによって区別されることに起因する。
• パスでない木Tに対して、2-メトリック次元はμ(T)、すなわちメトリック的に支配的な頂点の数に等しい。
• ς(T) ≥ 3 である木Tに対して、3-メトリック次元は dim_3(T) = 2μ(T) − |ℳ(T)| で与えられ、以前の下界のタイトさが示される。
• すべてのメトリック的に支配的な頂点wに対して、ter(w) = 2 かつ ς(w) = k が成り立つ場合、木Tのk-メトリック次元はk|ℳ(T)|に等しい。
• このような木において、k-メトリック次元は|𝒟_k(T)|、すなわちk-区別可能なペアの数に正確に一致し、理論的下界がタイトであることを示している。
• ℳ(T) = {w, w′} かつ ς(w) = ς(w′) = 3 である例の木では、dim_3(T) = |𝒟_3(T)| = 6 となり、実際の公式の妥当性が確認される。