[論文レビュー] The K-moment problem for continuous linear functionals

Jean B. Lasserre|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ℝⁿ 内の基本的閉半代数的集合 K ⊆ ℝⁿ における連続線形汎関数の K-モーメント問題を、多項式上に重み付き ℓ₁-ノルム位相（‖·‖_w）を導入することで解決する。ℓ_w-閉包としての前置順序 P(g) および二次モジュール Q(g) が、K 上で非負の多項式の集合 Psd(K) に等しいことを証明し、P(g) での非負性および多項式的有界なモーメント列を持つことによって、ℓ_w-連続な K-モーメント汎関数を特徴づける。

ABSTRACT

Given a closed (and non necessarily compact) basic semi-algebraic set $K\subseteq R^n$, we solve the $K$-moment problem for continuous linear functionals. Namely, we introduce a weighted $\ell_1$-norm $\ell_w$ on $R[x]$, and show that the $\ell_w$-closures of the preordering $P$ and quadratic module $Q$ (associated with the generators of $K$) is the cone $psd(K)$ of polynomials nonnegative on $K$. We also prove that $P$ an $Q$ solve the $K$-moment problem for $\ell_w$-continuous linear functionals and completely characterize those $\ell_w$-continuous linear functionals nonnegative on $P$ and $Q$ (hence on $psd(K)$). When $K$ has a nonempty interior we also provide in explicit form a canonical $\ell_w$-projection $g^w_f$ for any polynomial $f$, on the (degree-truncated) preordering or quadratic module. Remarkably, the support of $g^w_f$ is very sparse and does not depend on $K$! This enables us to provide an explicit Positivstellensatz on $K$. At last but not least, we provide a simple characterization of polynomials nonnegative on $K$, which is crucial in proving the above results.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな基本的半代数的集合 K ⊆ ℝⁿ における K-モーメント問題に取り組み、細かい局所凸位相における密度の欠如により古典的手法が失敗する状況を扱う。
• Scheiderer の否定的結果の制限を克服するため、細かい局所凸位相に代えて重み付き ℓ₁-ノルム位相（‖·‖_w）を導入し、モーメント列をより適切に捉える。
• P(g) および Q(g) で非負であり、ℓ_w-連続な線形汎関数を特徴づけ、この新しい位相的枠組みにおいて K-モーメント問題を解決する。
• 多項式 f に対して、P_d(g) および Q_d(g) へのスパースな ℓ_w-射影を構成することで、非コンパクト K に対して明示的な Positivstellensatz を提供する。

提案手法

• 正の重み列 w: ℕⁿ → ℝ>₀ を用いて ℝ[x] 上に重み付き ℓ₁-ノルム ‖·‖_w を導入し、多項式の空間に位相を定義する。
• 前置順序 P(g) および二次モジュール Q(g) の ℓ_w-閉包が、K 上で非負の多項式の集合 Psd(K) に等しいことを証明する。
• 線形汎関数 L_y が ℓ_w-連続な K-モーメント汎関数であるための必要十分条件を、すべての h ∈ ℝ[x] および K の生成子 g_j に対して L_y(h²g_j) ≥ 0 かつある M > 0 に対して |y_α| ≤ M w_α であることとして特徴づける。
• K が空でない内部を持つ場合、多項式 f を P_d(g) および Q_d(g) に射影する標準的な ℓ_w-射影 g^w_f(d) を定義し、その台は K に依存せず、非常にスパースである。
• ℓ_w-射影を用いて明示的な Positivstellensatz を導出する：f ≥ 0 on K であるための必要十分条件は、任意の ε > 0 に対して、ある d が存在して f + ε(1 + ∑_{i=1}^n ∑_{k=1}^d x_i^{2k}/(2k)!) ∈ P(g) となること。
• f が非負でかつモーメントがゆっくり成長するとき、f dμ のモーメント列が Carleman の条件を満たすことを確立し、表現測度の一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 細かい局所凸位相とは異なる位相を用いて、非コンパクトな K における K-モーメント問題を解くことは可能か？
• RQ2 基本的閉半代数的集合において、前置順序 P(g) および二次モジュール Q(g) の ℓ_w-閉包は Psd(K) に等しいか？
• RQ3 ℓ_w-連続な線形汎関数が K-モーメント汎関数であることを特徴づける条件は何か？
• RQ4 ℓ_w-ノルムにおいて、P_d(g) および Q_d(g) への多項式の明示的かつスパースな射影を構成できるか？
• RQ5 ℓ_w-射影に基づいて、非コンパクト K に対して明示的な Positivstellensatz を得られるか？

主な発見

• 前置順序 P(g) および二次モジュール Q(g) の ℓ_w-閉包は、K 上で非負の多項式の集合 Psd(K) に正確に等しい。
• 線形汎関数 L_y が ℓ_w-連続な K-モーメント汎関数であるための必要十分条件は、すべての h ∈ ℝ[x]、すべての生成子 g_j に対して L_y(h²g_j) ≥ 0 かつある M > 0 に対して |y_α| ≤ M w_α であること。
• K が空でない内部を持つ場合、多項式 f を P_d(g) や Q_d(g) に射影する標準的な ℓ_w-射影 g^w_f(d) の台は K に依存せず、極めてスパースである。
• 射影 g^w_f(d) は明示的に計算可能であり、lim_{d→∞} ‖f − g^w_f(d)‖_w = 0 を満たすため、ℓ_w-ノルムにおいて収束が保証される。
• 多項式 f が K 上で非負であるための必要十分条件は、任意の ε > 0 に対して、ある d が存在して f + ε(1 + ∑_{i=1}^n ∑_{k=1}^d x_i^{2k}/(2k)!) ∈ P(g) となることであり、これにより構成的 Positivstellensatz が得られる。
• 任意の K 上の有限ボレル測度 μ に対して、fμ が非負でモーメントがゆっくり成長するとき、そのモーメント列は Carleman の条件を満たし、表現測度の一意性が保証される。