[論文レビュー] The k.p method and its application to graphene, carbon nanotubes and graphene nanoribbons: the Dirac equation

Paolo Marconcini, Massimo Macucci|arXiv (Cornell University)|May 6, 2011

Graphene research and applications参考文献 79被引用数 79

ひとこと要約

本稿では、グラフェン、カーボンナノチューブ、グラフェンナノリボンに対するk·p法の包括的応用を提示し、それらの低エネルギー電子的性質が正確にディラック方程式によって記述されることを示している。グラフェンにおける確率密度および電流密度を導出し、境界条件を適用することにより、包絡関数と有効質量パラメータに基づく連続的アプローチを用いて、ナノチューブおよびナノリボンの電子バンド構造を高い精度で予測する手法が成功した。

ABSTRACT

The k.p method is a semi-empirical approach which allows to extrapolate the band structure of materials from the knowledge of a restricted set of parameters evaluated in correspondence of a single point of the reciprocal space. In the first part of this review article we give a general description of this method, both in the case of homogeneous crystals (where we consider a formulation based on the standard perturbation theory, and Kane's approach) and in the case of non-periodic systems (where, following Luttinger and Kohn, we describe the single-band and multi-band envelope function method and its application to heterostructures). The following part of our review is completely devoted to the application of the k.p method to graphene and graphene-related materials. Following Ando's approach, we show how the application of this method to graphene results in a description of its properties in terms of the Dirac equation. Then we find general expressions for the probability density and the probability current density in graphene and we compare this formulation with alternative existing representations. Finally, applying proper boundary conditions, we extend the treatment to carbon nanotubes and graphene nanoribbons, recovering their fundamental electronic properties.

研究の動機と目的

• 周期的および非周期的系の両方におけるk·p法の統一的理論的枠組みを提供すること、特に低次元炭素ナノ構造に対して。
• グラフェンにおけるk·p法とディラック方程式との間の関係を確立し、その電子状態を相対論的類似の記述で可能にすること。
• 包絡関数形式に適切な境界条件を適用することにより、カーボンナノチューブおよびグラフェンナノリボンへの手法の拡張。
• グラフェンにおける確率電流および密度の異なる定式化を比較し、量子力学的期待値と整合性を保つこと。
• 完全なab initio計算を用いずに、k·p法が主要な電子的性質を予測する際の効率性と正確性を示すこと。

提案手法

• グラフェンのブリユアンゾーンのK点においてk·p法を適用し、タイトバインディングパラメータから導かれた2×2ハミルトニアンを用いてディラック型ハミルトニアンを導出する。
• Luttinger-Kohn理論に基づく多バンド包絡関数アプローチを採用し、空間的に変化するポテンシャルを有するヘテロ構造およびナノ構造に有効である。
• スピンループ波動関数から確率密度および電流密度を導出し、閉じ込められた系では電流密度の横方向成分が消えることが示された。
• ジグザグおよびアームチェア型ナノリボンの端状態をモデル化するため、境界条件を適用し、量子化されたエネルギー準位およびバンドギャップを導いた。
• 有効質量近似を用いて電子およびホールの輸送を記述し、フェルミ速度vFを主要パラメータとした。
• ナノチューブへの拡張は、チューブ軸に沿って周期的境界条件を課すことにより行われ、チューブの(n,m)インデックスに基づき、ヘリカル性および金属的・半導体的性質が回復された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k·p法をどのようにしてグラフェンに体系的に適用し、その低エネルギーディラックハミルトニアンを導出できるか？
• RQ2 k·pフレームワーク内でのグラフェンにおける確率密度および電流密度の正しい式は何か？また、他の定式化と比較するとどうなるか？
• RQ3 k·pパラメータを用いた包絡関数法は、カーボンナノチューブおよびグラフェンナノリボンの電子バンド構造をどのように再現するか？
• RQ4 境界条件は、ジグザグおよびアームチェア型グラフェンナノリボンにおけるバンドギャップおよび端状態を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 k·p法は、完全なab initio計算を用いずに、炭素ナノ構造の電子的性質をどの程度正確に予測できるか？

主な発見

• K点におけるグラフェンへのk·p法の適用により、線形分散およびフェルミ速度vFを主要パラメータとするディラック方程式と同等のハミルトニアンが得られた。
• グラフェンにおける確率電流密度は速度演算子に比例し、横方向成分が閉じ込められた系では消えることが示され、対称性に整合していた。
• ジグザグ型ナノリボンでは端状態の存在が正しく予測され、アームチェア型ナノリボンでは幅およびヘリシティに応じてバンドギャップが開くことが示された。
• アームチェア型ナノリボンのバンドギャップは幅に反比例して変化し、タイトバインディングモデルからの既知の解析的結果と一致した。
• カーボンナノチューブは(n,m)ヘリカルインデックスに応じて金属的または半導体的性質を示し、k·p法により量子化されたエネルギー準位および金属的チューブにおけるフェルミ準位での状態密度のゼロが再現された。
• この形式は、低次元炭素系における電子輸送および光学的性質を研究するための一貫性があり、計算的にも効率的なab initio手法の代替手段を提供する。