[論文レビュー] The k-secant lemma and the general projection theorem

Laurent Gruson, Christian Peskine|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、滑らかで準射影的で、ℝ_N に埋め込まれた n 次元の非特異な連結な準射影的多様体 X ⊂ ℝ_N 上の、整合的で、有限で、次数 ∑k_i の部分スキームをパラメトライズする Hilbert 棧の特異点集合の構造を調査する。期待次元 2N−2+r−(∑k_i)(N−n) を分析することで、Hilbert 棧が期待次元で滑らかでない点を通る直線が ℝ_N を埋め尽くさないことを証明し、特異点集合における重要な幾何的制約を確立する。

ABSTRACT

Let X be a smooth, connected, dimension n, quasi-projective variety imbedded in \PP_N. Consider integers {k_1,...,k_r}, with k_i>0, and the Hilbert Scheme H_{k_1,...,k_r}(X) of aligned, finite, degree \sum k_i, subschemes of X, with multiplicities k_i at points x_i (possibly coinciding). The expected dimension of H_{k_1,...,k_r}(X) is 2N-2+r-(\sum k_i)(N-n). We study the locus of points where H_{k_1,...,k_r}(X) is not smooth of expected dimension and we prove that the lines carrying this locus do not fill up \PP_N

研究の動機と目的

• 指定された重複度を持つ X の有限で整合的な部分スキームをパラメトライズする Hilbert 棧 H_{k_1,...,k_r}(X) の構造を理解すること。
• この Hilbert 棧が期待次元で滑らかでない場所の集合を分析すること。
• そのような特異点を通る直線が、周囲の射影空間 ℝ_N を埋め尽くすかどうかを特定すること。
• 射影と次元論的議論を用いて、Hilbert 棧の特異点集合における幾何的制約を確立すること。

提案手法

• 論文は、ℝ_N に埋め込まれた、滑らかで連結で n 次元の準射影的多様体 X 上の、有限で次数 ∑k_i の部分スキームの Hilbert 棧 H_{k_1,...,k_r}(X) を検討する。
• 変形論的期待に基づき、H_{k_1,...,k_r}(X) の期待次元を 2N−2+r−(∑k_i)(N−n) として計算する。
• この期待次元で滑らかでない場所である特異点集合を研究する。
• 幾何的および次元論的議論を用いて、この特異点集合に属する点を通る直線を検討する。
• これらの直線が ℝ_N を埋め尽くさないことを証明し、特異点集合が ℝ_N の真の部分多様体に含まれることを示す。
• X の幾何、Hilbert 棧、および射影空間内の交線の挙動の間の相互作用に依拠した議論である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H_{k_1,...,k_r}(X) の特異点集合は、周囲の射影空間 ℝ_N を張るか？
• RQ2 H_{k_1,...,k_r}(X) が期待次元で滑らかでない点を通る直線の和集合の次元は何か？
• RQ3 期待次元の公式 2N−2+r−(∑k_i)(N−n) は Hilbert 棧の幾何にどのように制約を加えるか？
• RQ4 Hilbert 棧が、その交線が ℝ_N を埋め尽くす点で滑らかでないことがあるか？
• RQ5 特異点集合が ℝ_N に稠密でないのを妨げる幾何的障害は何か？

主な発見

• Hilbert 棧 H_{k_1,...,k_r}(X) の期待次元は 2N−2+r−(∑k_i)(N−n) である。
• H_{k_1,...,k_r}(X) が期待次元で滑らかでない点の集合は、ℝ_N に稠密ではない。
• この特異点集合に属する点を通る直線は、周囲の射影空間 ℝ_N を埋め尽くさない。
• これは、特異点集合が ℝ_N の真の部分多様体に含まれることを示し、強い幾何的制約をもたらす。
• 特異点集合が交線によって ℝ_N を支配できないことを示すことで、一般の射影定理を確立する。
• k-交線補題を用いて、特異点を通る交線の次元を制御し、非埋め尽くしの結論に至る。