[論文レビュー] The Kahler-Ricci flow through singularities

Jian Song, Gang Tian|ArXiv.org|Sep 26, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 24被引用数 54

ひとこと要約

本稿は、対数終票特異点をもつ射影的多様体における弱ケーラー・リッチフローの存在および一意性を確立し、最小モデルプログラムにおける主要な手技である除法的収縮およびフリップを通じて、フローの解析的続行が可能であることを示している。主な貢献は、特異多様体上のリッチフローに厳密な解析的枠組みを提供することであり、提案されたリッチフローを用いた解析的最小モデルプログラムを通じて、幾何的フローと代数幾何学を直接結びつけることを可能にした。

ABSTRACT

We prove the existence and uniqueness of the weak Kahler-Ricci flow on projective varieties with log terminal singularities. It is also shown that the weak Kahler-Ricci flow can be uniquely continued through divisorial contractions and flips if they exist. We then propose an analytic version of the Minimal Model Program with Ricci flow.

研究の動機と目的

• 対数終票特異点をもつ射影的多様体におけるケーラー・リッチフローの定義およびその存在と一意性を確立すること。これは、代数的変形において安定しており、穏やかな特異点である。
• 最小モデルプログラムにおける代数的変形に類似する除法的収縮およびフリップによって生じる幾何的特異点を経由して、ケーラー・リッチフローを拡張すること。
• リッチフローを用いた解析的バージョンの最小モデルプログラムを提唱すること。幾何的フローが代数的双有理変換に置き換わる。
• 特に一般型、半アーモニックな正則標準バンドル、およびファノ多様体のケースにおいて、正則計量と正則モデルの研究をリッチフローを通じて統一すること。
• Canonical model 上での長時間挙動およびフローの収束が一般化されたケーラー・アインシュタイン計量またはリッチ平坦計量へと収束する枠組みを提供すること。

提案手法

• 劣化および粗い初期データを用いた特異多様体上での弱ケーラー・リッチフローの導入。特異計量を用いた複素モンジュ・アンペール方程式の解法。
• 特異シュワルツプルスサブハーモニックな準シュワルツプルスサブハーモニックな包と正則測度の理論を用いて、初期ケーラー計量の劣化を扱う。
• 解体による特異点の定義に基づく対数終票特異点の概念の使用。ここで、体積形式の引き戻しが可積分のままである。
• 粗いおよび劣化した初期データをもつモンジュ・アンペールフローに対する推定を適用し、曲率および計量の劣化を制御する。
• 除法的収縮およびフリップによる解析的変形を、グロモフ＝ハウスドルフ収束の意味で、特異点を超えてフローを拡張できることを示すことによって構築する。
• 長時間収束を研究するための正規化されたケーラー・リッチフローを用いる。特に、半アーモニックな正則標準バンドルおよびファノ多様体のケースにおいて。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的多様体における対数終票特異点をもつ場合、ケーラー・リッチフローは一意的に定義され、特異点を越えて拡張可能であろうか？
• RQ2 除法的収縮およびフリップを通じて、ケーラー・リッチフローは最小モデルプログラムの構造を保ちつつ、標準的な続行を許容するであろうか？
• RQ3 正規化されたケーラー・リッチフローの長時間挙動は、正則標準バンドルが半アーモニックである場合に、canonical model 上で一般化されたケーラー・アインシュタイン計量へ収束するであろうか？
• RQ4 代数的変形（フリップおよび除法的収縮）とリッチフロー枠組みにおける解析的変形の間には直接的な対応があるであろうか？
• RQ5 ファノ多様体上での正規化されたケーラー・リッチフローは、ハミルトンおよびティアンの予想に従い、グロモフ＝ハウスドルフ位相でケーラー・リッチソリトンへ収束するであろうか？

主な発見

• 劣化または粗い初期計量をもつ対数終票特異点をもつ射影的多様体上では、弱ケーラー・リッチフローが存在し、一意的である。
• 除法的収縮およびフリップを経由して、フローは一意的に続行可能であり、その極限計量はグロモフ＝ハウスドルフ位相においてフローを完全に完成させる。
• 一般型の多様体では、正規化されたケーラー・リッチフローは、グロモフ＝ハウスドルフ位相において、canonical model 上で一意的な一般化されたケーラー・アインシュタイン計量へ収束する。
• 正則標準バンドルが半アーモニックである場合、フローはイタカファイブレーションに由来するウェイリ＝ペテルソン型形式によってねじれた正則計量へ収束する。
• 数的自明な正則標準バンドル（コルデイラ次元 0）のケースでは、フローはグロモフ＝ハウスドルフ位相においてリッチ平坦ケーラー計量へ収束する。
• ファノ多様体のケースでは、正規化されたフローは、Kähler-Ricci soliton へ収束すると予想されており、本稿は、解析的変形を用いた収束の枠組みを提供している。