[論文レビュー] The Kalb-Ramond field as a connection on a flat space time

M. Botta Cantcheff|ArXiv.org|Dec 16, 2002

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ゲージ群のテンソル積を用いてLie群を構成することで、平坦なミンコフスキー時空上でのアーベル的カルブ＝ラモン場の幾何学的実現を提案する。この接続は自然にランク2のテンソル場を生じる。主な結果は、この接続から得られる場の強さが、標準的なカルブ＝ラモン場の強さ $ H_{\mu\nu\rho} = 2\partial_{[\mu}B_{\nu]\rho} $ を再現することであり、ゲージ不変性およびストリング理論やトポロジカルな場の理論との整合性を確認する。

ABSTRACT

We obtain a (Abelian) two form field as a connection on a flat space-time and its corresponding field strength is canonically constructed.

研究の動機と目的

• 平坦時空上でのカルブ＝ラモン場を群論的構成から体系的に導出すること。
• ゲージパラメータ $ \beta^{a}_{\mu} = \beta^{a}v_{\mu} $ の分離可能性の問題を、Lie群のテンソル積を用いることで解決すること。
• 2形式接続に対して共変微分および場の強さを定義し、標準的なカルブ＝ラモン力学を再現すること。
• 接続の反対称部が物理的カルブ＝ラモン場 $ b_{\mu\nu} $ に対応すること、対称部が余分な自由度であることを示すこと。
• 非アーベル拡張およびフェルミオン場へのカップリングを幾何学的に整合性のある枠組みで構築する基盤を提供すること。

提案手法

• 時空基底ベクトル $ dx^{\underline{\mu}} $ と関連づけられた4つのゲージ群 $ G $ のテンソル積としてLie群 $ \bar{G} $ を構成し、時空構造を符号化するためにディラック行列 $ \gamma^{\mu} $ を用いる。
• ゲージパラメータを $ \rho = \alpha^{a}I + \beta^{a}_{\mu}v_{\mu}\gamma^{\mu} $ と定義し、$ \beta^{a}_{\mu} $ を1形式とみなして、群要素 $ g = \exp[i(\alpha^{a} + \beta^{a}_{\mu}v_{\mu}\gamma^{\mu})\tau^{a}] $ を得る。
• 接続 $ B_{\mu} = B_{\mu\nu}\Gamma^{\nu} $ を導入し、$ \Gamma^{\nu} $ をディラック行列のテンソル積から構成することで、ゲージ変換の下で2形式として変換するように保証する。
• 共変微分 $ \nabla_{\mu} = \partial_{\mu} - iB_{\mu} $ を定義し、交換子 $ [\nabla_{\mu}, \nabla_{\nu}] = -i{\cal F}_{\mu\nu} $ から場の強さを導出し、$ {\cal F}_{\mu\nu\rho} = 2\partial_{[\mu}B_{\nu]\rho} $ を得る。
• 反対称部 $ b_{\mu\nu} = B_{[\mu\nu]} $ を物理的カルブ＝ラモン場と特定し、完全反対称部 $ H_{\mu\nu\rho} = {\cal F}_{[\mu\nu\rho]} $ を標準的場の強さとする。
• 時空変換に対して不変であるように、行列 $ \Gamma^{\mu}_{(i)} $ を用いたローレンツ共変な定式化を導入し、群パラメータが $ {\cal B} \to \sigma{\cal B}\sigma^{-1} $ と変換することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルブ＝ラモン場は、群論的構成から平坦時空上での接続として体系的に導出可能か？
• RQ2 1形式として変換するゲージパラメータ $ \beta_{\mu} $ を、分離性 $ \beta^{a}_{\mu} = \beta^{a}v_{\mu} $ を必要とせずにLie群構造に一貫して埋め込む方法は何か？
• RQ3 2形式場を生じる接続の幾何学的・代数的構造は何か？ また、ゲージ変換の下での変換性は？
• RQ4 共変微分から得られる場の強さ $ {\cal F}_{\mu\nu} $ はどのように導出され、標準的カルブ＝ラモン場の強さ $ H_{\mu\nu\rho} $ を再現するか？
• RQ5 この構成は非アーベル理論に拡張可能か？ また、ゲージ不変性を保ったままフェルミオン場とカップリング可能か？

主な発見

• カルブ＝ラモン場 $ b_{\mu\nu} $ は、ゲージ群とディラック行列のテンソル積から構成されたランク2テンソル接続 $ B_{\mu\nu} $ の反対称部として出現する。
• 共変微分から得られる場の強さは $ {\cal F}_{\mu\nu\rho} = 2\partial_{[\mu}B_{\nu]\rho} $ であり、完全反対称化すると標準的カルブ＝ラモン場の強さ $ H_{\mu\nu\rho} $ に還元される。
• 接続のゲージ変換則は $ B'_{\mu} - B_{\mu} = (\partial_{\mu}\beta_{\nu})\Gamma^{\nu} $ であり、$ B_{\mu} $ がゲージ対称性の下で2形式として変換することを確認する。
• 分離性条件 $ \beta^{a}_{\mu} = \beta^{a}v_{\mu} $ が不要となり、ゲージパラメータが非分離的でより一般化された形に拡張可能である。
• 行列 $ \Gamma^{\mu}_{(i)} $ を用いた明示的なローレンツ共変な定式化により、時空変換に対して不変であり、時空整合性が保証される。
• この方法により、非アーベルゲージ群への拡張およびフェルミオン場とのカップリングを、一貫したゲージ共変微分を用いて行うための幾何的基盤が提供される。