[論文レビュー] The kappa classes on the moduli spaces of curves

Rahul Pandharipande|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、安定曲線のモジュライ空間のタウトロジカルな環における $\kappa$ 種類の完全な関係集合を確立し、未マークドの場合のファーバー＝ザジエの予想を証明するとともに、マークドおよびコンパクト型の場合にまで拡張する。安定商の幾何とゴレンスタイン双対性を用いて、$\kappa^*$ 環の明示的生成関係を提示し、それが生成関数と分割依存係数を含む普遍的公式によって完全に支配されることを示す。

ABSTRACT

In the past few years, substantial progress has been made in the understanding of the algebra of kappa classes on the moduli spaces of curves. My goal here is to provide a short introduction to the new results. Along the way, I will discuss several open questions. The article accompanies my talk at "A celebration of algebraic geometry" at Harvard in honor of the 60th birthday of J. Harris.

研究の動機と目的

• $\kappa^*(\mathcal{M}_g)$ における $\kappa$ 種類の関係について、ファーバー＝ザジエの予想を証明し、それらが普遍的な関係集合によって生成されることを示す。
• ファーバー＝ザジエの関係をマークド付きの曲線のモジュライ空間 ($\mathcal{M}_{g,n}^{c}$ および $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$) および安定曲線のコンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ に拡張する。
• これらのモジュライ空間における $\kappa$ 環が、期待される次数にソープルをもつゴレンスタイン環であるかどうかを特定し、明示的な基底と双対性を用いてその構造を特徴づける。
• 自然な写像 $\kappa^*(\mathcal{M}_{0,2g}^{c}) \to \kappa^*(\mathcal{M}_g^{c})$ の核を調査し、特に genus 5 の場合に焦点を当て、既知のタウトロジカル関係と関連付ける。

提案手法

• $\overline{\mathcal{M}}_{g,n+1}$ 上のユニバーサル曲線からの $\psi$-種類のプッシュフォワードを用いて $\kappa$ 種類を定義し、$\epsilon_*\psi_{n+1}^{i+1}$ を $\u03ba_i$ に用いる。
• 未マークドの場合の生成関数 $\Psi(t,\mathbf{p})$ を定義し、$3$ を法として $2$ と合同でない部分を避ける分割を含める。$\log(\Psi)$ を用いて係数 $C^r(\sigma)$ を抽出する。
• $\gamma = \sum_{\sigma,r} C^r(\sigma) \kappa_r t^r \mathbf{p}^\sigma$ を定義し、指定された次数および偶奇条件の下で、$\kappa^r(\mathcal{M}_g)$ 内で $[\exp(-\gamma)]_{t^r \mathbf{p}^\sigma} = 0$ を証明する。
• 安定商の幾何とゴレンスタイン基準を用いて、定理 1 の関係が $\kappa^*(\mathcal{M}_g)$ のすべての関係を生成することを証明し、すべての正の部分を含む別の生成関数を用いて $\mathcal{M}_{g,n}^{c}$ に拡張する。
• $\kappa^d(\mathcal{M}_{g,n}^{c})$ に対する $\mathbb{Q}$-基底を、$P(d, 2g-2+n-d)$ 内の分割 $\mathbf{p}$ でインデックス付けされた単項式 $\kappa_{\mathbf{p}}$ を用いて構成し、ベッチ数の数え上げにより次元公式を証明する。
• ソープル評価写像 $L_\xi(\gamma) = \phi(\gamma \cdot \xi)$ を用いて非退化性を確認し、定理 5 が $n > 0$ の場合に $\kappa^*(\mathcal{M}_{g,n}^{c})$ のすべての関係を生成することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $\kappa$ 種類の関係が、定理 1 の関係によって $\kappa^*(\mathcal{M}_g)$ 内で生成されるか？
• RQ2 $\kappa^*(\mathcal{M}_g)$ は、次数 $g-2$ にソープルをもつゴレンスタイン環か？
• RQ3 $\kappa^*(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ における $\kappa$ 関係の均一な公式は、定理 1 や定理 5 に類似した形で存在するか？
• RQ4 自然な写像 $\kappa^*(\mathcal{M}_{0,2g}^{c}) \to \kappa^*(\mathcal{M}_g^{c})$ の核は何か、特に genus 5 の場合にどうか？
• RQ5 定理 3 の基底を用いて、$\kappa$ 環におけるシューベルト型の計算論を構築できるか？

主な発見

• 定理 1 に現れる関係（FZ 関係と呼ばれる）は、$g < 24$ の場合に $\kappa^*(\mathcal{M}_g)$ のすべての関係を生成することが証明され、一般の場合にもそうであると予想されている。
• $n > 0$ の場合、$\kappa^*(\mathcal{M}_{g,n}^{c})$ は $\mathbf{p} \in P(d, 2g-2+n-d)$ に対する $\kappa_{\mathbf{p}}$ で与えられる $\mathbb{Q}$-基底を持ち、次元は $|P(d, 2g-2+n-d)|$ に等しい。
• 任意の非ゼロ $\xi \in \kappa^d(\mathcal{M}_{g,n}^{c})$ に対して、ソープル評価 $L_\xi(\gamma) = \phi(\gamma \cdot \xi)$ は非自明であり、ゴレンスタイン双対性の非退化性が確認された。
• ピクソンによる定理 5 は、$n > 0$ の場合に $\kappa^*(\mathcal{M}_{g,n}^{c})$ の完全な関係集合を提供し、すべての正の整数と二重階乗を含む生成関数を用いる。
• $\iota_5: \kappa^*(\mathcal{M}_{0,10}^{c}) \to \kappa^*(\mathcal{M}_5^{c})$ の核は非自明であり、$\overline{\mathcal{M}}_{1,4}$ におけるゲッツラーの関係と関連している。
• $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ の $\kappa$ 環は、最高次数を超えてはまだ完全に理解されておらず、この場合に定理 1 や 5 に類似した均一な関係公式は知られていない。