[論文レビュー] The Kasparov product on submersions of open manifolds

Koen van den Dungen|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、非コンパクトで、可能性として非完全な多様体のリーマン被覆の下で、非有界KK理論における内部カスパロフ積の新しい構成を確立する。ヒグソンの局所化技術を垂直作用素へ拡張することで、全空間上の垂直に楕円的で対称な作用素と底空間上の楕円的作用素のテンソル和が、ファイバーが非コンパクトであってもカスパロフ積を表すことを示した。主な結果は、先行研究を非コンパクトファイバーに一般化し、カスパロフ積による基本的クラスの因子分解を提供する。

ABSTRACT

We study the Kasparov product on (possibly non-compact and incomplete) Riemannian manifolds. Specifically, we show on a submersion of Riemannian manifolds that the tensor sum of a regular vertically elliptic operator on the total space and an elliptic operator on the base space represents the Kasparov product of the corresponding classes in KK-theory. This construction works in general for symmetric operators (i.e. without assuming self-adjointness), and extends known results for submersions with compact fibres. The assumption of regularity for the vertically elliptic operator is not always satisfied, but depends on the topology and geometry of the submersion, and we give explicit examples of non-regular operators. We apply our main result to obtain a factorisation in unbounded KK-theory of the fundamental class of a Riemannian submersion, as a Kasparov product of the shriek map of the submersion and the fundamental class of the base manifold.

研究の動機と目的

• 非コンパクトファイバーを有する被覆への非有界KK理論における内部カスパロフ積の構成を拡張すること。
• 従来の方法が垂直作用素の自己共役性を要請していたという制限を克服すること、これは通常、コンパクトファイバーを要請する。
• リーマン被覆におけるカスパロフ積因子分解の新しい独立した証明を提供すること、これはファイバーが不完全または非コンパクトであっても成立する。
• 垂直に楕円的で対称な作用素が正則であるための条件を確立することにより、有界変換とKK理論的代表元の使用を可能にする。

提案手法

• ヒグソンの有界変換に対する局所化法を、被覆の全空間上の垂直に楕円的で対称な作用素へ拡張する。
• 前コンパクトな開部分集合の局所的有限被覆と分区関数を用いて、垂直作用素の局所化代表元を構成する。
• カスパロフ積をテンソル和 $ D = D_V \hat{\otimes} 1 + 1 \hat{\otimes} \nabla D_B $ として構成する。ここで $ D_V $ は垂直に楕円的であり、$ D_B $ は底空間上で楕円的である。
• Kucerovskyの定理を適用し、$ D_V $ における正則性条件の下で、このテンソル和がカスパロフ積を表すことを確認する。
• 平均曲率を用いて垂直バンドル上のヘルミート接続 $ \nabla $ を導入し、$ D_B $ を $ C_0(B) $ 上のヒルベルト加群へ上昇させる。
• 被覆の非平坦性に起因する補正項 $ -i/8 \, c(\Omega) $ を考慮し、$ D $ が全ディラック作用素 $ D_M $ とユニタリ同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 垂直作用素が自己共役でない場合、非コンパクトファイバーを有する被覆に対して内部カスパロフ積を構成できるか？
• RQ2 垂直に楕円的で対称な作用素が正則であるための条件は何か？これにより有界変換の定義が可能になる。
• RQ3 非有界KK理論の文脈において、ヒグソンの局所化技法を垂直作用素にどのように適応できるか？
• RQ4 非コンパクトファイバーを有するリーマン被覆において、曲率が存在する場合のカスパロフ積の正確な形は何か？
• RQ5 全空間の基本的クラスが、底空間と垂直クラスのカスパロフ積として因子分解可能であるか？これはコンパクトファイバーのケースを超えて成立するか？

主な発見

• ファイバーが非コンパクトであっても、垂直作用素 $ D_V $ と底空間作用素 $ D_B $ のカスパロフ積は、テンソル和 $ D = D_V \hat{\otimes} 1 + 1 \hat{\otimes} \nabla D_B $ によって表される。
• 作用素 $ D_V $ の正則性は、すべての $ b \in B $ に対して $ \text{ev}_b(\text{Dom}(D_V^*)) $ が $ D_b^* $ の核心であるという条件と同値であり、これは被覆の幾何学的・位相的性質に依存する。
• 本研究は、非コンパクトファイバーの場合におけるカスパロフ積公式の新しい独立した証明を提供する。これは、[KS18] で示された、正則（すなわちコンパクトファイバー）被覆に制限されていた結果を拡張する。
• 曲率形式 $ \Omega $ が消える場合、全ディラック作用素 $ D_M $ はテンソル和 $ D $ とユニタリ同値であるため、因子分解は正確である。
• 全空間 $ M $ の基本的クラスは、$ D_V $ を通じたシャリー写像と底空間 $ B $ の基本的クラスのカスパロフ積として因子分解可能であり、曲率補正項 $ -i/8 \, c(\Omega) $ を除いて成立する。
• 明示的な例により、ファイバーのトポロジー（例：連結から非連結に変化）や幾何学（例：完全から不完全に変化）が変化しても、正則性が保たれうることを示している。