[論文レビュー] The Kazhdan-Lusztig polynomial of a matroid

Ben Elias, Nicholas Proudfoot+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2014

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ひとこと要約

この論文は、マトロイドの特性多項式を用いた再帰的定義によって定義される、マトロイドのカジダン＝ルシュティグ多項式を導入する。代表的マトロイドの場合、交差コホモロジー・ポincare多項式として幾何的解釈を施すことにより、その係数が非負整数であることを証明し、$q$-deformed Möbius代数の構造定数についても同様の非負性を予想する。

ABSTRACT

We associate to every matroid M a polynomial with integer coefficients, which we call the Kazhdan-Lusztig polynomial of M, in analogy with Kazhdan-Lusztig polynomials in representation theory. We conjecture that the coefficients are always non-negative, and we prove this conjecture for representable matroids by interpreting our polynomials as intersection cohomology Poincare polynomials. We also introduce a q-deformation of the Mobius algebra of M, and use our polynomials to define a special basis for this deformation, analogous to the canonical basis of the Hecke algebra. We conjecture that the structure coefficients for multiplication in this special basis are non-negative, and we verify this conjecture in numerous examples.

研究の動機と目的

• コクセター群の理論に類似したマトロイドのカジダン＝ルシュティグ理論を構築すること。
• 各マトロイドに対して、表現理論におけるカジダン＝ルシュティグ多項式が果たす役割を模倣する多項式不変量を定義すること。
• 代表的マトロイドの場合、幾何的実現を用いて、この多項式の係数が非負であることを証明すること。
• $q$-deformationされた Möbius代数への理論の拡張を行い、新しい正規基底における構造定数の非負性を予想すること。
• ユニフォームマトロイドおよびブレインドマトロイドの具体的な多項式表を用いて、組合せ的パターンを探索し、予想の計算的証拠を提供すること。

提案手法

• マトロイドの特性多項式を用いて、カジダン＝ルシュティグ多項式 $P_M(t)$ を再帰的に定義する。
• 幾何的解釈を確立する：有限体上に代表可能なマトロイドに対して、$P_M(t)$ は再帰的平面 $X_{\mathcal{A}}$ の $\ell$-adic エタール交差コホモロジー・ポincare多項式に等しい。
• $q$-deformation $E_q(M)$ を、Möbius代数 $E(M)$ に導入し、ヘッケ代数の構成を一般化する。
• フラットの区間に関連する多項式 $P_{M^F_G}(t)$ を用いて、$E_q(M)$ のカジダン＝ルシュティグ基底を定義する。
• Sage を用いた計算ツールを活用し、ランク 20 までの一様マトロイドおよびブレインドマトロイドの多項式を計算・分析する。
• オンライン整数列辞書を活用し、先頭係数に関する組合せ的公式を発見・検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コクセター群の古典的理論に類似した、マトロイドに対するカジダン＝ルシュティグ多項式を定義できるか？
• RQ2 マトロイドのカジダン＝ルシュティグ多項式の係数は常に非負整数か？
• RQ3 代表的マトロイドの場合、多項式は交差コホモロジー・ポincare多項式として幾何的に解釈可能か？
• RQ4 $q$-deformed Möbius代数のカジダン＝ルシュティグ基底における積の構造定数の係数は非負か？
• RQ5 ユニフォームマトロイドやブレインドマトロイドなどの特別なクラスにおいて、特定の係数（例えば先頭係数）について組合せ的公式が存在するか？

主な発見

• カジダン＝ルシュティグ多項式 $P_M(t)$ は、マトロイドの特性多項式を用いて再帰的に定義され、その係数は非負であると予想されている。
• 代表的マトロイドの場合、$P_M(t)$ は再帰的平面 $X_{\mathcal{A}}$ の $\ell$-adic エタール交差コホモロジー・ポincare多項式に等しくなり、この場合における非負性が証明された。
• 一様マトロイド $M_{1,2k-1}$ の $P_{M_{1,2k-1}}(t)$ の先頭係数は、カタラン数 $C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$ に等しい。
• ブレインドマトロイド $M_{2k}$ の $P_{M_{2k}}(t)$ の先頭係数は、$(2k-3)!! \cdot (2k-1)^{k-2}$ に等しい。
• 計算表により、$M_{1,8}$ の多項式は $1 + 27t + 120t^2 + 84t^3$ であることが判明し、非負性予想を支持する。
• $E_q(M)$ のカジダン＝ルシュティグ基底における構造定数は、$q$ に関する多項式として非負の係数を持つと予想されており、多数の例で検証された。