[論文レビュー] The Kernel Unipotent Conjecture and the vanishing of Massey products for odd rigid fields

Ján Mináč, Nguyêñ Duy Tân+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、奇数の剛体体およびランク2のデムーシュキン群に対して、Kernel Unipotent Conjecture と Vanishing $n$-Massey Product Conjecture を証明し、自由なpro-$p$ ガロア群を持つ体とは異なる、顕著な新しい体のクラスにおいてこれらの性質を確立する。また、核 $n$-ユニポテンツ性を満たさないpro-$p$ 群の例を構成することで、これらの予想の鋭さを示し、ガロア群の新たなフィルトレーション結果と自動実現定理を提供する。

ABSTRACT

A major difficult problem in Galois theory is the characterization of profinite groups which are realizable as absolute Galois groups of fields. Recently the Kernel $n$-Unipotent Conjecture and the Vanishing $n$-Massey Conjecture for $n\geq 3$ were formulated. These conjectures evolved in the last forty years as a byproduct of the application of topological methods to Galois cohomology. We show that both of these conjectures are true for odd rigid fields. This is the first case of a significant family of fields where both of the conjectures are verified besides fields whose Galois groups of $p$-maximal extensions are free pro-$p$-groups. We also prove the Kernel Unipotent Conjecture for Demushkin groups of rank 2, and establish a number of further related results.

研究の動機と目的

• 奇数の剛体体に対して、Kernel $n$-Unipotent Conjecture と Vanishing $n$-Massey Product Conjecture を検証すること。
• 自由なpro-$p$ ガロア群を持つ体とは異なる、これらの予想を満たす体の族を、$p$-最大拡大体の自由なpro-$p$ ガロア群を越えて拡張すること。
• 核 $n$-ユニポテンツ性を満たさないpro-$p$ 群の例を構成し、すべてのpro-$p$ 群に対してこれらの予想が普遍的に成り立たないことを示すこと。
• Zassenhaus フィルトレーションと降下 $p$-中心系列を比較し、ガロア群の新たな自動実現定理を確立すること。

提案手法

• pro-$p$ 群の構造を分析するために、$p$-Zassenhaus フィルトレーションと降下 $p$-中心系列の使用。
• $N$ 個の生成元を持つ自由なpro-$p$ 群 $S$ を構成し、$RS_{(3)} = R_0S_{(3)}$ を満たす閉じた正規部分群 $R$ で割ること、ここで $R_0$ は交換子関係 $[x_1,x_2][x_i,x_j]^{-1}$ によって生成される。
• $G_{\mathcal{L}} = \bigcap_{H \in \mathcal{L}} \bigcap_{\rho} \ker(\rho)$ の定義、ここで $\rho$ は $G$ から $H$ へのすべての準同型を走る。この定義により、核 $n$$-ユニポテンツ性のテストが可能になる。
• $S_{(3)}$ における交換子の線形独立性の応用により、$[\bar{x}_1, \bar{x}_2] \not\in G_{(3)}$ を示し、フィルトレーションにおける非消失性を確立する。
• 有限群 $H$ で $|H| < N$ となるものに対する群準同型を用いて、$[\bar{x}_1, \bar{x}_2] \in G_{\mathcal{L}}$ を示し、$G_{\mathcal{L}}$ が $p$-中心系列の $n$-番目の項を逸脱することを証明する。
• 既知の結果 [Vo]、[EM2]、[Ef1] を活用し、構成された群が、$p$ 乗根を含む体の最大のpro-$p$ ガロア群として実現可能でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $n \geq 3$ および素数 $p$ に対して、奇数の剛体体に対して Kernel $n$-Unipotent Conjecture と Vanishing $n$-Massey Product Conjecture は成り立つか？
• RQ2 $p$ 乗根を含む体の最大のpro-$p$ ガロア群として実現可能でないpro-$p$ 群において、核 $n$-ユニポテンツ性が破られる可能性はあるか？
• RQ3 ガロア理論から生じるpro-$p$ 群において、Zassenhaus フィルトレーションと降下 $p$-中心系列はどの程度一致するか？
• RQ4 [EM1, MS2, EM2] で得られた絶対ガロア群の構造的性質は、すべてのねじれのないpro-$p$ 群に成り立つか、それとも特定のクラスに限るのか？
• RQ5 核 $n$-ユニポテンツ性およびマッセイ積の消失性に基づいて、新たな自動ガロア実現定理を確立できるか？

主な発見

• 奇数の剛体体に対して、Kernel $n$-Unipotent Conjecture と Vanishing $n$-Massey Product Conjecture が両方とも検証され、自由なpro-$p$ 群とは異なる顕著な体の族において、これが初めての検証である。
• $n \geq 3$ の各 $n$ に対して、核 $n$-ユニポテンツ性を満たさないpro-$p$ 群の例が構成され、それらは $p$ 乗根を含む体の最大のpro-$p$ ガロア群として実現可能でない。
• $R = R_0 S_{(3)}$ とすると、群 $G = S/R$ はねじれがなく、$[\bar{x}_1, \bar{x}_2] \not\in G_{(3)}$ を満たす。これは、$p$-中心系列がこのような群におけるすべての正規部分群を捉えていないことを示している。
• $\mathcal{L}$ に属するすべての $H$ に対して $N > |H|$ が成り立つとき、$[\bar{x}_1, \bar{x}_2]$ は $G_{\mathcal{L}}$ には属するが $G_{(n)}$ には属さない（$n \geq 3$）。これにより $G_{\mathcal{L}} \not\subseteq G_{(n)}$ が示され、核 $n$-ユニポテンツ条件が破られる。
• 結果として、[EM1, MS2, EM2] で導かれた絶対ガロア群の性質が、一般のねじれのないpro-$p$ 群に拡張されないことが、付録の反例によって示された。
• 本稿では、$N > p^{(n-1)n/2}$ のとき、$G$ に対して核 $n$-ユニポテンツ性が成り立たないことが示され、失敗の定量的閾値が得られた。