[論文レビュー] The Kijowski--Liu--Yau quasi-local mass of the Kerr black hole horizon

Maciej Dunajski, Paul Tod|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 14被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、$ j = J/m^2 \in [0,1] $ の全スピンパラメータに対して、Kerrブラックホールの視界におけるKijowski-Liu-Yauの局所的質量を計算する。高速回転ブラックホールではガウス曲率が負になるため、$ j > \sqrt{3}/2 $ の場合に双曲空間埋め込みを用いることで、この制限を克服する。質量は $ j = 0 $ で $ 2m $ から始まり $ j = \sqrt{3}/2 $ で $ 1.76569m $ に単調に減少し、$ j \approx 0.99907 $ の近辺で最大値 $ 2.02223m $ に達した後、極端Kerr極限 $ j = 1 $ で $ 2.01966m $ に減少する。最大の双曲半径を選択することで、$ j = \sqrt{3}/2 $ の遷移点における平均曲率と質量の連続性が保証される。

ABSTRACT

We use an isometric embedding of the cross-over surface of the outer horizon of a rapidly rotating Kerr black hole in a hyperbolic space to compute the quasi-local mass of the horizon for any allowed value of the spin parameter j = J/m 2. The mass is monotonically decreasing from twice the ADM mass at j = 0 to 1.765 69m at j=3/2 . It then monotonically increases to a maximum around j = 0.999 07, and finally decreases to 2.019 66m for j = 1 which corresponds to the extreme Kerr black hole.

研究の動機と目的

• スピンパラメータ $ j \in [0,1] $ の全範囲にわたり、Kerrブラックホール視界におけるKijowski-Liu-Yau局所的質量を計算すること。特に、ガウス曲率が負になる高速回転状態を含む。
• スピンパラメータ $ j > \sqrt{3}/2 $ の場合に、視界のガウス曲率が極域近くで負になるため、標準的な平坦空間 $ \mathbb{R}^3 $ における等長埋め込み法が破綻する問題を解消すること。
• 非正の曲率を持つ視界に対しても、Kijowski-Liu-Yau局所的質量形式主義を拡張するために、双曲空間への埋め込みを導入すること。
• 臨界スピン $ j = \sqrt{3}/2 $ における遷移点で、平均曲率とそれに続く質量の連続性を保証するため、グローバル埋め込みに適した最大の双曲半径 $ L $ を選択すること。

提案手法

• 双曲3次元空間 $ H^3 $ に、上半平面モデルを用いてKerr視界断面を埋め込む。計量は $ G_L = L^2 z^{-2}(dz^2 + dr^2 + r^2 d\phi^2) $ であり、$ L $ は双曲半径である。
• 回転体の解法を用いた座標 $ (x, \phi) $、$ x = \cos\theta $ を用いて、視界計量の等長埋め込みを構築し、$ Z(x) $ と $ R(x) $ を求める埋め込み方程式を解く。
• 双曲計量のリーマン接続を用いて第二基本形式を計算し、$ H^3 $ 内の埋め込み表面の平均曲率 $ H $ を算出する。
• $ j \leq \sqrt{3}/2 $ の場合、ガウス曲率が非負であるため、標準的な平坦空間 $ \mathbb{R}^3 $ 埋め込みを用いる。
• $ j = \sqrt{3}/2 $ で両埋め込みを一致させるために、平均曲率が遷移点で連続になるように双曲半径 $ L $ を選ぶ。
• 被積分関数に平方根が存在する境界特異性を丁寧に取り扱いながら、シンプソン則を用いて $ x \in [-1,1] $ における局所的質量関数を数値的に積分する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス曲率が負である場合、標準的な $ \mathbb{R}^3 $ 埋め込みが無効になるため、Kerrブラックホール視界におけるKijowski-Liu-Yau局所的質量はどのように計算できるか？
• RQ2 特に $ j > \sqrt{3}/2 $ の高速回転領域において、スピンパラメータ $ j = J/m^2 $ の関数としての局所的質量の挙動はいかなるものか？
• RQ3 極端Kerr極限 $ j = 1 $ に近い領域で、局所的質量に最大値が現れるか？もしそうなら、その値と位置は何か？
• RQ4 $ j = \sqrt{3}/2 $ で平坦空間埋め込みと双曲空間埋め込みの間で連続な遷移を実現できるか？平均曲率と質量の両方が連続になるか？

主な発見

• 局所的質量は $ j = 0 $ で $ 2m $ から始まり、$ j = \sqrt{3}/2 $ で $ 1.76569m $ に単調に減少し、$ \mathbb{R}^3 $ における標準的なKijowski-Liu-Yau形式主義と整合的である。
• $ j > \sqrt{3}/2 $ の場合、質量は $ 1.76569m $ から単調に増加し、$ j \approx 0.99907 $ の近辺で最大値 $ 2.02223m $ に達する。これはスピン依存性が非単調であることを示唆している。
• 極端Kerr極限 $ j = 1 $ では質量は $ 2.01966m $ に減少し、最大値が極限に非常に近い位置に存在することを確認した。
• 最大の双曲半径 $ L $ を選択することで、臨界スピン $ j = \sqrt{3}/2 $ における平均曲率とそれに続く質量の連続性が保証され、ハイブリッド埋め込み手法の妥当性が裏付けられた。
• 数値的収束テストにより高い精度が確認された。解像度を500点から10,000点に変えても、質量の上位6桁は変化しない。$ j = 1 $ に近い領域での収束の遅さは、被積分関数に微分不可能な平方根が存在するためである。
• 結果はWang-Yauの手法とも整合しており、$ j > \sqrt{3}/2 $ の領域で質量が増加することを示唆しているが、本手法はWang-Yau手法が特定できなかった、$ j \approx 0.99907 $ の近辺に位置するグローバル最大値を独自に特定した。