[論文レビュー] The kinetic one-dimensional equation with frequency of collisions, affine depending on the module molecular velocity

A. L. Bugrimov, А. В. Латышев+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2014

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ひとこと要約

本稿では、分子速度の大きさに線形に依存する衝突周波数を有する1次元BGK型運動方程式を構築し、粒子数、運動量、エネルギーの保存を保証する。変数分離法と一般化関数論を用いて、離散スペクトルおよび連続スペクトルの固有関数を定義する分散関数を導出し、両スペクトルに対する明示的な固有関数解を含む、一般解構造に関する完全な定理を確立する。

ABSTRACT

The one-dimensional kinetic equation with integral of collisions type BGK (Bhatnagar, Gross and Krook) and frequency of collisions affine depending on the module of molecular velocity is constructed. Laws of preservation of number of particles, momentum and energy at construction equation are used. Separation of variables leads to the characteristic equation. The system of the dispersion equations is entered. Its determinant is called as dispersion function. It is investigated continuous and discrete spectra of the characteristic equation. The set of zero of the dispersion equation makes the discrete spectrum of the characteristic equation. The eigen solutions of the kinetic equation corresponding to discrete spectrum are found. The solution of the characteristic equation in space of the generalized functions leads to eigen functions corresponding to the continuous spectrum. Results of the spent analysis in the form of the theorem about structure of the general solution of the entered kinetic equation are formulated.

研究の動機と目的

• 分子速度の大きさにアフィンに依存する衝突周波数を有する1次元運動方程式を構築し、定数周波数BGKモデルの改良を行うこと。
• モデル構築段階で粒子数、運動量、エネルギーの保存則を強制することで物理的整合性を確保すること。
• 変数分離法と分散方程式を用いて、導出された特徴方程式のスペクトル構造を分析すること。
• 分散関数を用いてスペクトルを離散スペクトルと連続スペクトルに分類し、対応する固有関数を導出すること。
• 一般解構造を離散スペクトル成分と連続スペクトル成分の観点から完全な定理として定式化すること。

提案手法

• 衝突周波数 ν(v) = ν₀(1 + √π a √(m/(2kBTs)) |v|) として、|v| に線形に依存する線形化BGK型運動方程式を定式化する。
• vT = 1/√βs および x′ = x/l を用いた次元なしスケーリングを適用し、方程式を次元なし形式に簡略化する。
• 変数分離法を用いて、運動方程式から特徴方程式を導出する。
• その分散関数 λ(z) の行列式がゼロとなる分散方程式系を導入し、スペクトル解析を可能にする。
• 一般化関数論を用いて特徴方程式を解き、連続スペクトルに対する固有関数を求める。
• 線形常微分方程式系の解法により、離散スペクトルおよび連続スペクトルに対応する固有関数の明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粒子数、運動量、エネルギーを保存する条件下で、分子速度の大きさにアフィンに依存する衝突周波数を有する1次元運動方程式をどのように構築できるか？
• RQ2 このような運動モデルから導出された特徴方程式のスペクトル構造はいかなるものか？
• RQ3 特徴方程式の離散スペクトルおよび連続スペクトルは、運動方程式の物理的固有関数とどのように関係するか？
• RQ4 一般解構造は、離散スペクトル成分と連続スペクトル成分の観点からどのように表現できるか？
• RQ5 ν ∝ |C| の極限状態において、分散関数 λ(z) はどのように簡略化されるか？

主な発見

• 分散関数は λ(z) = -1/2 - (z² - 3/2)λC(z) として導出され、ここで λC(z) はVan Kampenのプラズマ分散関数である。
• 離散スペクトルは分散関数の零点によって定義され、対応する固有関数は部分解として明示的に構成される。
• 連続スペクトルに対しては、一般化関数の空間において解が得られ、連続スペクトルの部分に対応する固有関数が得られる。
• 極限状態 ν ∝ |C| において、運動方程式は多項式カーネルを有する形に簡略化され、解成分のための6本の結合された常微分方程式系が導出可能である。
• 一般解は、離散固有関数と連続スペクトル成分の重ね合わせとして表現され、任意定数 A₀, A₁, A₂, A₃, ˜A₁, ˜A₃ に明示的な依存関係を示す。
• 解構造は、一般解が離散スペクトル成分と連続スペクトル成分の両方を含み、完全な解析的表現が与えられるという定理として形式的に要約される。