[論文レビュー] The Kodaira dimension of spaces of rational curves on low degree hypersurfaces

Jason Starr|ArXiv.org|May 29, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、一般の超曲面 $X \subset \mathbb{P}^n$ の上で次数 $e$ の有理曲線をパラメトライズするコンツェビッチモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ の特異点とコイカワ次元を調査する。条件 $d + e \leq n$ の下で、これらのモジュライ空間が canonical 特異点しか持たず、その canonical ホールの計算を示し、$n \leq d^2 \leq n^2$ を満たすほとんどの $(d,e)$ に対してその canonical ホールが big であることを示している。これは、ある予想のもとで、粗モジュライ空間が一般型であることを示唆している。

ABSTRACT

For a hypersurface in complex projective space $X\subset \PP^n$, we investigate the singularities and Kodaira dimension of the Kontsevich moduli spaces $\Kbm{0,0}{X,e}$ parametrizing rational curves of degree $e$ on $X$. If $d+e \leq n$ and $X$ is a general hypersurface of degree $d$, we prove that $\Kbm{0,0}{X,e}$ has only canonical singularities and we conjecture the same is true for the coarse moduli space $\kbm{0,0}{X,e}$.This investigation is motivated by the question of which Fano hypersurfaces are unirational.

研究の動機と目的

• 一般の超曲面 $X \subset \mathbb{P}^n$ の次数 $d$ における有理曲線のコンツェビッチモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ の特異点とコイカワ次元を特定すること。
• $d + e \leq n$ の下で $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ が canonical 特異点を持つかどうかを調査し、$d=1,2$ の既知の結果を拡張すること。
• $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ の canonical ホールを計算し、それがいつ big であるかを特定することで、一般型の挙動の可能性を示すこと。
• 特に、有理曲面を介した Kollár の基準を用いて、ファノ超曲面の有理被覆性の問題とこれらの幾何的性質を結びつけること。

提案手法

• 変形理論と交線論を用いて、モジュライスタック $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ 上の普遍的安定写像のファミリーを分析する。
• 局所完備交差スタックおよび半正規化の理論を用いて、特異点と除集合クラスを研究する。
• 普遍曲線および $X$ への写像の幾何から導かれる canonical バンドルの公式を用い、境界除集合 $\mathcal{D}_{i,j}$ と $\mathbb{Q}$-除集合 $\mathcal{H}$ を含む。
• stable 写像の $a$-正規性と有理被覆性の概念を用いて、除集合クラスの引き戻しを制御し、big であることを確立する。
• Kollár と Shokurov の adjunction の逆予想に依拠し、特異点の問題を予想的枠組みに還元する。
• 低次の領域における $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ の挙動を制限するために、[15] および [16] の次元と有理連結性に関する結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $d \leq n-2$ かつ $X$ が次数 $d$ の一般超曲面であるとき、$\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ はどのような種類の特異点を持つか？
• RQ2 $(n,d,e)$ がどのような条件下で $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ の canonical ホールが big になるか。これは、一般型の挙動の可能性を示唆する。
• RQ3 粗モジュライ空間 $\overline{M}_{0,0}(X,e)$ は、スタック $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ の canonical 特異点と big さを引き継ぐか？
• RQ4 条件 $d+e \leq n$ の下で、$\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ の canonical ホールはどのように振る舞い、コイカワ次元にどのような意味を持つのか？
• RQ5 canonical ホールの big さを用いて、adjunction の逆予想が成り立つと仮定すれば、$\overline{M}_{0,0}(X,e)$ が一般型であると結論づけられるか？

主な発見

• $d + e \leq n$ かつ $e \geq 2$ の下で、モジュライスタック $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ は Corollary 7.6 で示されるように、canonical 特異点しか持たない。
• $n \leq d^2 \leq n^2$ を満たすほとんどの $(d,e)$ に対して、$\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ の canonical ホールは big である。特に、$d < \min(n-3, \frac{n+1}{2})$ かつ $d^2 \geq n+2$ のとき、$e$ が十分に大きい場合に成り立つ。
• $d < \min(n-6, \frac{n+1}{2})$ かつ $d^2 + d \geq 2n+2$ のとき、すべての $e > 0$ に対して canonical ホールは big である。$e=2$ および $e \geq 3$ を含む。
• 条件 $d+e \leq n$ の下で、$e \geq 3$ または $e=2$ かつ $d+3 \leq n$ のとき、adjunction の逆予想が成り立つと仮定すれば canonical ホールは big である。
• canonical ホールが big で、スタックから空間への写像が codimension 2 で同型であると仮定すれば、粗モジュライ空間 $\overline{M}_{0,0}(X,e)$ は一般型であると予想される。
• すべての幾何的一般点が有理被覆 stable 写像をパラメトライズするとき、$\mathbb{Q}$-除集合クラス $\mathcal{H}$ の引き戻しは base-point-free かつ big である。これは Lemma 10.9(1) で確立されている。