[論文レビュー] The Koopman Expectation: An Operator Theoretic Method for Efficient Analysis and Optimization of Uncertain Hybrid Dynamical Systems

Adam R. Gerlach, Andrew Leonard+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非線形ハイブリッド力学系における観測関数の期待値を、コプマン作用素を明示的に構築することなく計算する、作用素論的アプローチ「コプマン期待値」を提案する。コプマン作用素とフロベニウス＝ペルソン作用素の随伴関係を活用することで、期待値や高次モーメントの計算が効率的に行える。バウンシングボールのテストケースにおいて、モンテカルロ法と比較して最大1700倍の高速化と、桁違いの高い精度を達成した。

ABSTRACT

For dynamical systems involving decision making, the success of the system greatly depends on its ability to make good decisions with incomplete and uncertain information. By leveraging the Koopman operator and its adjoint property, we introduce the Koopman Expectation, an efficient method for computing expectations as propagated through a dynamical system. Unlike other Koopman operator-based approaches in the literature, this is possible without an explicit representation of the Koopman operator. Furthermore, the efficiencies enabled by the Koopman Expectation are leveraged for optimization under uncertainty when expected losses and constraints are considered. We show how the Koopman Expectation is applicable to discrete, continuous, and hybrid non-linear systems driven by process noise with non-Gaussian initial condition and parametric uncertainties. We finish by demonstrating a 1700x acceleration for calculating probabilistic quantities of a hybrid dynamical system over the naive Monte Carlo approach with many orders of magnitudes improvement in accuracy.

研究の動機と目的

• 非ガウス分布の不確実性とプロセスノイズを有するハイブリッド力学系において、期待値を計算的に効率的に算出する手法の開発。
• 高次元または複雑な系において、モンテカルロ法が遅くかつ信頼性の高い誤差推定を欠くという従来の制限を克服すること。
• コプマン期待値を用いて期待損失関数および制約関数を再定式化することで、不確実性下での最適化を可能にすること。
• ベクトル値関数としての観測関数とコプマンに基づく統合を用いて、分散、歪度、尖度などの高次モーメントを効率的に計算すること。
• 正確さを保ちつつコプマン作用素の明示的構築を回避し、誤差推定を可能にするフレームワークの提供。

提案手法

• コプマン作用素とフロベニウス＝ペルソン作用素の随伴性を活用し、将来の観測関数の期待値を初期密度にコプマン作用素を作用させたものとしての引き戻し（pullback）として表現する。
• 密度の前方伝搬を避けるために、初期不確実性分布上でのコプマン変換済み観測関数の積分として期待値計算を再定式化する。
• 数値積分（例：ガウス＝ルジャンドル求積）を用いてコプマン期待値を効率的に計算し、積分手法に由来する誤差境界を導出する。
• 成分関数にコプマン期待値を適用することで、5次の中心モーメントまでを計算可能なベクトル値観測関数への拡張。
• 最適化ループにコプマン期待値を統合し、確率的最適制御問題の高速かつ高精度な解法を可能にする。
• 非ガウス分布の初期条件とプロセスノイズを有するハイブリッド力学系（バウンシングボール）に対して、モンテカルロシミュレーションと比較して手法を検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コプマン期待値は、非ガウス分布の不確実性を有するハイブリッド力学系における期待値計算に対して、モンテカルロ法のより効率的な代替手段を提供できるか？
• RQ2 コプマン作用素の明示的表現なしに、コプマン期待値は高次モーメントをどの程度正確に計算できるか？
• RQ3 モンテカルロ法と比較して、コプマン期待値は不確実性下での最適化において、計算効率と精度をどの程度向上させるか？
• RQ4 モンテカルロ法とは異なり、積分プロセスの副産物として信頼性の高い誤差推定を提供できるか？
• RQ5 多くの不確実パラメータや複雑なノイズプロセスを有する系へのスケーラビリティはどの程度か？

主な発見

• バウンシングボール系における期待二乗ミス距離の計算において、1回のモンテカルロ評価と比較して、コプマン期待値は1700倍の高速化を達成した。
• 5次の中心モーメントまでを計算するにあたり、1000万回のモンテカルロシミュレーションと比較して、コプマン期待値は77,000倍の高速化を達成。2次のモーメントに関しては、±3.878×10⁻⁵の誤差範囲内で解が得られた。
• 期待値の計算に0.117秒、わずか26回の関数評価で完了。モンテカルロによる目的関数1回分の計算に要する時間と比較して17.5倍の高速化を達成。
• 空間的積分手法の副産物として、誤差境界をきめ細かく得ることができた。これに対してモンテカルロ法は同程度の誤差推定を得るためには膨大なサンプリングを要する。
• わずか225回のシミュレーションで5次までの高次モーメントを正確に計算可能であり、1次期待値を超える統計的解析における効率性を示した。
• モンテカルロ法が1000万回のサンプルを必要としている状況でも、コプマン期待値は速度と精度の両面で優れており、3次の中心モーメントでは1.776×10⁻³未満、4次の中心モーメントでは1.536×10⁻³未満の残差誤差を達成した。